§5快速 Fourier变换 离散 Fourier变换 人们刚开始利用无线电技术传输信号时,是将连续信号进行某种 调制处理后直接传送的(图16.5.1),本质上传送的还是连续信号(也 叫模拟信号)。这样的传输方式抗干扰能力差,失真严重,尤其是经 过长距离传送或多级传递后,信号可能面目全非,质量自然难尽人意。 传送 九调制 解调 图16.5.1
离散 Fourier 变换 人们刚开始利用无线电技术传输信号时，是将连续信号进行某种 调制处理后直接传送的（图 16.5.1），本质上传送的还是连续信号（也 叫模拟信号）。这样的传输方式抗干扰能力差，失真严重，尤其是经 过长距离传送或多级传递后，信号可能面目全非，质量自然难尽人意。 传送 调制 解调 图 16.5.1 §5 快速Fourier变换
以后发展了离散的传输方法,它不是传送连续信号本身,而是每 隔一段时间Δ,从信号中提取一个数值脉冲(称为数值抽样),将连 续信号转化成数据序列x(0),x(1),x(2),…,x(N-1)(图16.5.2), 再经编码后发送。只要抽取的时间间隔足够小,这列数据就能很好地 反映原信号,接收方通过逆向处理, (0)x(1) x(N- 1) 可以复原出所传递的信号(图 x(2) 16.5.3)。这种方法称为数字信号传 输,具有抗干扰能力强、信号还原 质量高、易于加密和解密等优点, 问世后便受到广泛的重视,至今方 兴未艾。 传送 抽样「编码}调制 解调}解码「还 图16.5.3
以后发展了离散的传输方法，它不是传送连续信号本身，而是每 隔一段时间 Δ t ，从信号中提取一个数值脉冲（称为数值抽样），将连 续信号转化成数据序列 x( ) 0 ， x( ) 1 ， x )2( ，…，x N( ) − 1 （图 16.5.2）， 再经编码后发送。只要抽取的时间间隔足够小，这列数据就能很好地 反映原信号，接收方通过逆向处理， 可以复原出所传递的信号（图 16.5.3）。这种方法称为数字信号传 输，具有抗干扰能力强、信号还原 质量高、易于加密和解密等优点， 问世后便受到广泛的重视，至今方 兴未艾。 N 1 t 2 − t 1 t 0t Δt x (0) x(1) x(2) x ( ) N − 1 传送 抽样 编码 调制 解调 解码 还原 图 16.5.3
可以想见的是,为了保证接收的质量,△必须取得很小,即N非 常之大。因此,直接发送这列数据将会长时间地占用传输设备和线路, 这不但需要支付昂贵的费用,在情况紧急时甚至会误事 所以,在抽样之后需要对数据序列x(O),x(1),…,x(N-1)进行 简化和压缩,但由于序列中数据的大小是散乱的,因此一方面我们不 能随意舍弃某些数据,另一方面压缩的效果也比较差。 后来经研究发现,若对数据序列xO),x(1),…,x(N-1)施以如 下的离散 Fourier变换 X()=∑x(m)e (j=012,…,N-1,i=√-1) 就可以有效地解决上面的问题
可以想见的是，为了保证接收的质量， Δ t 必须取得很小，即 N 非 常之大。因此，直接发送这列数据将会长时间地占用传输设备和线路， 这不但需要支付昂贵的费用，在情况紧急时甚至会误事。 所以，在抽样之后需要对数据序列 x( ) 0 ， x( ) 1 ，…， x N( ) − 1 进 行 简化和压缩，但由于序列中数据的大小是散乱的，因此一方面我们 不 能随意舍弃某些数据，另一方面压缩的效果也比较差。 后来经研究发现，若对数据序列 x( ) 0 ， x( ) 1 ，…， x N( ) − 1 施以如 下的离散 Fourier 变换1 2 πi 0 ( ) ( )e N nj N n X j xn − − = = ∑ （ j = " N −1,,2,1,0 ，i 1 = − ） 就可以有效地解决上面的问题
利用正交关系式 2 e 0,j≠k 可以导出离散 Fourier逆变换 2Ti- k x(k)=∑X()e k=01.2……N-1 这是因为 ∑X(e=N>>xmee 2π2ti ∑x(o)∑e ∑x(n)6nk=x(k)。 也就是说,若发送方将x(0),x(1),…,x(N-1)作了离散 Fourier变换 后传输出去,接收方可以对收到的数据进行离散 Fourier逆变换,再 现原始信号
利用正交关系式 1 2 πi 2 πi , 0 1 e e N n j nk N N j k N n δ − − = ∑ = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = kj kj ,0 ,,1 可以导出离散 Fourier 逆变换1 2 πi 0 1 ( ) ( )e N j k N j xk X j N − = = ∑ ，k = " N −1,,2,1,0 ， 这是因为 1 2 πi 0 1 ( )e N j k N j X j N − = ∑ 1 1 2 πi 2 πi 0 0 1 ( )e e N N nj jk N N j n x n N − − − = = = ∑∑ 1 1 2πi 2 πi 0 0 1 () e e N N n j jk N N n j x n N − − − = = ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ − = = 1 0 , )( N n kn nx δ = x k( )。 也就是说，若发送方将 x( ) 0 ，x( ) 1 ，…，x N( ) − 1 作了离散 Fourier 变 换 后传输出去，接收方可以对收到的数据进行离散 Fourier 逆变换， 再 现原始信号
从表面看来,这么做似乎毫无必要,因为变换后的数据长度仍是 N,并没有缩短,况且还要额外支出两次变换的代价。其实不然。 从变换公式容易看出,变换后的序列中的每个X(),都包含了原 序列中所有信号的信息。因此,即使丢失了某些X(),仍可望由其余 数据基本正确地还原岀原始数据。这当然使得传输过程的抗干扰能力 进一步提高,但更重要的是,这可以让我们通过有意剔除某些模较小 的数据(通常这类数据数量很大)而使需传输的序列大为缩短。此外, X(0),X(1),…,ⅹ(N-l)的排列将很有规律,模较大的数据往往集中 在序列中一两个较窄的范围内,易于作高效的压缩处理
从表面看来，这么做似乎毫无必要，因为变换后的数据长度仍是 N ，并没有缩短，况且还要额外支出两次变换的代价。其实不然。 从变换公式容易看出，变换后的序列中的每个 X j ( )，都包含了原 序列中所有信号的信息。因此，即使丢失了某些 X j ( )，仍可望由其余 数据基本正确地还原出原始数据。这当然使得传输过程的抗干扰能力 进一步提高，但更重要的是，这可以让我们通过有意剔除某些模较小 的数据（通常这类数据数量很大）而使需传输的序列大为缩短。此外， X( ) 0 ，X( ) 1 ，…，X N( ) − 1 的排列将很有规律，模较大的数据往往集中 在序列中一两个较窄的范围内，易于作高效的压缩处理