§6无条件极值 无条件极值 定义12.6.1设D∈R"为开区域,f(x)为定义在D上的函数, (x3,x2…,x0)∈D。若存在x的邻域O(x,r),使得 f(x0)≥f(x)(或∫(x)≤∫(x),x∈O(x0,r), 则称x为∫的极大值点(或极小值点);相应地,称f(x)为相应的极 大值(或极小值);极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极 小值统称为极值
无条件极值 定义 12.6.1 设 D n ∈R 为开区域， f x)( 为定义在 D 上的函数， 0 x ),,,( 002 01 n = " xxx ∈D。若存在 0 x 的邻域 ),( 0 x rO ，使得 )),()(()()( 0 0 ≥ 或 ≤ ffff xxxx x ∈ ),( 0 x rO ， 则称 0 x 为 f 的极大值点（或极小值点）；相应地，称 )( 0 f x 为相应的极 大值（或极小值）；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极 小值统称为极值。 §6 无条件极值
先考察一个点为极值点的必要条件。 定理12.6.1(必要条件)设x为函数f的极值点,且∫在xn点 可偏导,则∫在x点的各个一阶偏导数都为零,即 f2(x0)=f21(x0)=…=f2(x0)=0。 证只证明f(x)=0,其他类似。考虑一元函数 (x1)=f(x1,x2,…,x), 则x是g(x1)的极值点。由于f在x点可偏导,因此a(x1)在x点可导, 由 Fermat引理,即得到 (x)=f( 使函数f的各个一阶偏导数同时为零的点称为f的驻点
先考察一个点为极值点的必要条件。 定理 12.6.1（必要条件） 设 x0 为函数 f 的极值点，且 f 在 x0 点 可偏导，则 f 在 0 x 点的各个一阶偏导数都为零，即 0)()()(1 0 = 2 xx 0 = = x0 = n x x x ff " f 。 证 只证明 0)( 0 1 f x x = ，其他类似。考虑一元函数 ),,,()( 0 0 1 21 n ϕ = " xxxfx ， 则 0 1 x 是 )( 1 ϕ x 的极值点。由于 f 在 0 x 点可偏导，因此 )( 1 ϕ x 在 0 1 x 点可导， 由 Fermat 引理，即得到 )( 0 1 ϕ′ x = 0),,,( 0 0 2 0 1 1x " xxxf n = 。 使函数 f 的各个一阶偏导数同时为零的点称为 f 的驻点
注首先,定理12.6.1的条件不是充分的,即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程∫(x,y)=x满足 f(0.0)=f,(0.0)=0, 但在(00的任何邻域里,总同时存在使f(x,y)为正和为负的点。而 f(0)=0,因此(0.0)不是f的极值点(见图12.6.1)。 图126.1
注 首先，定理 12.6.1 的条件不是充分的，即驻点不一定是极值 点。如马鞍面方程 ),( = xyyxf 满足 = = 0)0,0()0,0( x y ff ， 但在 )0,0( 的任何邻域里，总同时存在使 yxf ),( 为正和为负的点。而 f = 0)0,0( ，因此 )0,0( 不是 f 的极值点（见图 12.6.1）。 z y O x 图 12.6.1
其次,偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方程 f(x,y)=1x|,整个y轴上的每一点(0,y)都是f的极小值点。但在y轴上 的任一点(0,y)处,f关于x的偏导数都不存在(见图126.2)。 x 图12.62
其次，偏导数不存在的点也可能是极值点。如柱面方 程 = xyxf ||),( ，整个 y 轴上的每一点 y),0( 都是 f 的极小值点。但在 y 轴 上 的任一点 y),0( 处， f 关于 x的偏导数都不存在（见图 12.6.2）。 z O y x 图 12.6.2
那么,要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢?我们先对二元 函数进行讨论。 设z=f(x,y)在(x0y)点附近具有二阶连续偏导数,且(x0,y)为f 的驻点,即 f(x0,y0)=f,(x0,y) 那么由 Taylor公式得到 f(o+ Ax,yo+ Ay)-f(xo,yo=tx()Ax +2fx (P)AxAy+fy(P)Ayj 其中P=(x+Ax,y+y,0<6<1。由于f的二阶偏导数在(xn,y)点连 续,因此 )=fx(x0,y0)+ fw(xo, yo)+B, f()=f(o, yo)+r 其中a,By为当p=Ax2+4y2→0时的无穷小量
那么，要加上什么条件才能保证驻点是极值点呢？我们先对二元 函数进行讨论。 设 = yxfz ),( 在 ),( 00 yx 点附近具有二阶连续偏导数，且 ),( 00 yx 为 f 的驻点，即 0),(),( x 00 = y yxfyxf 00 = ， 那么由 Taylor 公式得到 2 2 0 0 00 1 ( , ) ( , ) { () 2 () () } 2 xx xy yy f x xy y f x y f P x f P x y f P y +Δ +Δ − = Δ + Δ Δ + Δ ， 其中 10),,( ~ 0 0 yyxxP θθθ <<Δ+Δ+= 。由于 f 的二阶偏导数在 ),( 00 yx 点连 续，因此 = + α = + β = ),() + γ ~ (,),() ~ (,),() ~ ( 00 00 00 yxfPfyxfPfyxfPf xx xx xy xy yy yy ， 其中 α β,, γ 为当 0 ρ yx 22 →Δ+Δ= 时的无穷小量