§4收敛准则 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1单调有界数列必定收敛 证不妨设数列{xn}单调增加且有上界,根据确界存在定理,由 {xn}构成的数集必有上确界β,β满足 (1)neN+:xn≤B; (2)Ve>0, 3x: x>B-a 取N Vn>w B-8 ≤xn≤B 因而x-B<E,于是得到 lim x,=Bo 证毕
单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。 证 不妨设数列{ xn }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { xn }构成的数集必有上确界β ，β 满足： (1) + n ∈∀ N : xn ≤ β ； (2) ∀ > ε 0 ，∃ xn0 : xn0 > β − ε 。 取 N n = 0 , ∀ n N > ： β − ε < ≤ xx nn ≤ β 0 ， 因而 n x − < β ε ，于是得到 lim n→∞ xn = β 。 证毕 §4 收敛准则
注按极限定义证明一个数列收敛时,必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于,它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性,进而,在判断出数列收敛时,利用极限运算去求出相应 的极限
注 按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什 么。定理2.4.1的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究 其敛散性，进而，在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应 的极限
例24.1设x1>0,m1=￥x1+·=12,3…。证明数列{xn} 收敛,并求它的极限。 解首先,应用数学归纳法可直接得到:当n≥2时, 1<x.<2 然后由x=1+ x n=1,2,3,…)可得 (1+xn,)(1+xn1) 这说明对一切n≥2,xn1-xn具有相同符号,从而{x}是单调数列。由 定理2.4.1,{xn}收敛
例2.4.1 设 x1 > 0 , xn+1 =1 1 + +x xn n ,n = 123 ,,,"。证明数列{ xn } 收敛，并求它的极限。 解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当n ≥ 2时， < < 21 n x 。 然后由 xn+1 =1 1 + +x xn n (n = 123 ,,,") 可得 n n 1 x x + − = x x x x n n n n − + + − − 1 1 1 1 ( )( ) 。 这说明对一切n ≥ 2 , n n 1 x x + − 具有相同符号，从而{ }n x 是单调数列。由 定理2.4.1，{ xn }收敛
设imxn=a,在等式x=1+x两边同时求极限,得到方程 n→ 1+Xn a=1+ 1+a 1±√5 解得方程的根为a 。由x>1,舍去负值,即有 1 lim x
设lim n→∞ xn = a，在等式 xn+1 =1 1 + +x xn n 两边同时求极限，得到方程 a =1 1 + + a a , 解得方程的根为a = 1 5 2± 。由 > 1 n x ，舍去负值，即有 lim n→∞ xn = 1 5 2 +
例24.2设0<x1<1,xn1=x、(1-x),n=123,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <x< 由 (1-xn)(n=12,…),可得 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{x}收敛
例2.4.2 设 < x1 < 10 , xn+1 = x x n n ( ) 1− ,n = 123 ,,,"。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n ∈ N ， < xn < 10 。 由 xn+1 = x x n n ( ) 1− ( n = ,2,1 ")，可得 xn+1 - xn = 0 2 xn <− ， 即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛