§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: X,x 通常表示成{xn},其中x称为该数列的通项
§2 数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： xx x 1 2 n ,,,, " "， 通常表示成{ xn }，其中 xn称为该数列的通项
§2数列极限 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数: x1,x2,…xn 通常表示成{xn},其中x称为该数列的通项。 数列的例子 n+3 n+3 {n}:1,4,9,…,n,¨ (-1y}:-1,1
数列的例子： ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n1 : 1, 12 , 13 , …， 1n ,…； ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧n + 3 n : 14 , 25 , 36 , …， n n + 3 ,…； { }2 n : 1, 4, 9, …，n2 ,…； { }n − )1( : -1, 1, -1, 1, …，( ) −1 n ，…。 数列与数列极限 数列是指按正整数编了号的一串数： xx x 1 2 n ,,,, " "， 通常表示成{ xn }，其中 xn称为该数列的通项。 §2 数列极限
注尽管数列与数集的记号是类似的,但两者的概念是有区别 的。在数集中,元素之间没有次序关系,所以重复出现的数看成是 同一个元素;但在数列中,每一个数都有确定的编号,前后次序不 能颠倒,重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 π(即圆的周长与直径之比),采用单位圆的内接正n边形的半周长 Ln去逼近它。就如刘徽所说:“割之弥细,所失弥少;割之又割, 以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣
注 尽管数列与数集的记号是类似的，但两者的概念是有区别 的。在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成是 同一个元素；但在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不 能颠倒，重复出现的数不能随便舍去。 中国古代数学家早就具有朴素的极限思想。他们为了求圆周率 π（即圆的周长与直径之比），采用单位圆的内接正n边形的半周长 L n去逼近它。就如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣
极限的定义 定义2.2.1设{xn}是一给定数列,a是一个实常数。如果对 于任意给定的ε>0,可以找到正整数N,使得当n>N时,成立 <E 则称数列{xn}收敛于a(或a是数列{xr}的极限),记为 imx = a n→0 有时也记为 xn→>a(n→∞)。 如果不存在实数a,使{xn}收敛于a,则称数列{xn}发散
极限的定义 定义2.2.1 设{ } xn 是一给定数列，a 是一个实常数。如果对 于任意给定的ε > 0，可以找到正整数 N ，使得当n > N 时，成立 ｜ xn − a｜< ε ， 则称数列{ } xn 收敛于a（或a是数列{ } xn 的极限），记为 lim n→∞ xn = a， 有时也记为 xn → a (n → ∞ )。 如果不存在实数a ,使{ xn }收敛于a ,则称数列{ } xn 发散
注 (1)取以a为中心,为半径的一个开区间(a-s,a+E),称 它为点a的g邻域,记为O(a,E) O(a, a=xa-8<x<a+e) “当n>N时,成立|xn-a|<6”表示数列中从N+1项起的所有 的项都落在点a的ε邻域中,即 xn∈O(a,E),n>N
注 （1）取以a 为中心，ε 为半径的一个开区间 − ε aa + ε ),( ，称 它为点a 的ε 邻域，记为 aO ε ),( ： aO ε ),( = |{ − ε < < axax + ε}。 “当n > N 时，成立｜ xn − a｜< ε ”表示数列中从 N +1项起的所有 的项都落在点a的ε 邻域中，即 ( , ), n x Oa n N ∈ ε >