第十五章含参变量积分 §1含参变量的常义积分 含参变量常义积分的定义 设f(x,y)是定义在闭矩形{a,b×c,d上的连续函数,对于任意固 定的y∈c,d],f(x,y)是[a,b上关于x的一元连续函数,因此它在[a,b 上的积分存在,且积分值∫f(x,yA由y唯一确定。也就是说, (y)=f(x,y)dx,y∈cd 确定了一个关于y的一元函数。由于式中的y可以看成一个参变量, 所以称它为含参变量y的积分。同理可定义含参变量x的积分 J(x)=Jfxy)dy,x∈ab。它们统称含参变量常义积分,一般就称 为含参变量积分
含参变量常义积分的定义 设 yxf ),( 是定义在闭矩形 × dcba ],[],[ 上的连续函数，对于任意固 定的 ∈ dcy ],[ ， yxf ),( 是 ba ],[ 上关于 x的一元连续函数，因此它在 ba ],[ 上的积分存在，且积分值 ( , )d b a f xy x ∫ 由 y 唯一确定。也就是说， ( ) ( , )d , [ , ] b a I y f xy x y cd = ∈ ∫ 确定了一个关于 y 的一元函数。由于式中的 y 可以看成一个参变量， 所以称它为含参变量 y 的积分。同理可定义含参变量 x 的积 分 ( ) ( , )d d c J x f xy y = ∫ ， ∈ bax ],[ 。它们统称含参变量常义积分，一般就 称 为含参变量积分 。 第十五章 含参变量积分 §1 含参变量的常义积分
例如计算椭圆x+)=1(b>a>0)的周长时,利用椭圆的参数方程 x=acos,y= bsin t,记L为椭圆在第一象限的部分,则所求周长的四 分之一为 ds=[2va2sin2t+62cos2 tdt=[2a2sin2t+b(1-Sin?t)dt sin tdt=621-k tdi 这里k ∫-k2sm7ut就是含参变量k 的积分,称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是, 被积函数√1-k2sin2t的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分,通常只能采用数值计 算的方法。 图15.1.1
例如计算椭圆 )0(1 2 2 2 2 ab >>=+ b y a x 的周长时，利用椭圆的参数方程 = = sin,cos tbytax ，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四 分之一为 π π 2 2 22 2 2 22 2 2 0 0 π π 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d sin cos d sin (1 sin )d 1 sin d 1 sin d , s a t b tt a t b t t b a b t t b k t t b = + = +− − =− =− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L 这里 b ab k 22 − = 。 2 2 2 0 1 sin d k tt π − ∫ 就是含参变量k 的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是， 被积函数 tk 22 − sin1 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计 算的方法。 L x z O 图15.1.1
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闲矩形D=[a,b]×[c,4]上连 续,则函数 1(y)= f(x, y)dx 在[c,团上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理） 设 yxf ),( 在闭矩形 D = × dcba ],[],[ 上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a Iy f xy x = ∫ 在 dc ],[ 上连续
含参变量常义积分的分析性质 定理15.1.1(连续性定理)设f(x,y)在闲矩形D=[a,b]×[c,4]上连 续,则函数 (y)= f(x, y )dx 在[c,团上连续。 证因为f(x,y)在闭矩形D上连续,所以一致连续。因此对于任意 给定的E>0,存在δ>0,使得对于任意两点x,y1),(x2,y2)∈D,当 (1-x2)2+(y1-y2)2<6时,成立 f(x,yu)-f(x2,y2)ka 对任意定点y∈[c,d,只要|y-ykδ,就有 (xy)-(x) ∫m(xy)-/(x)dx<(b a 8 这说明1(y)在c,上连续
证 因为 yxf ),( 在闭矩形D上连续，所以一致连续。因此对于任意 给定的ε > 0，存在δ > 0，使得对于任意两点 ),,( 11 yx yx 22 ),( ∈ D，当 <−+− δ 2 21 2 21 yyxx )()( 时，成立 − |),(),(| < ε 11 22 yxfyxf 。 对任意定点 ],[ 0 ∈ dcy ，只要 − yy 0 || < δ ，就有 0 0 0 | ( ) ( ) | [ ( , ) ( , )]d | ( , ) ( , )|d ( ) . b a b a Iy Iy f xy f xy x f xy f xy x b a ε −= − ≤ − <− ∫ ∫ 这说明 yI )( 在 dc ],[ 上连续。 含参变量常义积分的分析性质 定理 15.1.1（连续性定理）设 yxf ),( 在闭矩形 D = × dcba ],[],[ 上连 续，则函数 ( ) ( , )d b a Iy f xy x = ∫ 在 dc ],[ 上连续
由这个结论可知 lim f(x, y)dx=lim f(x, y)dx, yo e[c,d] y→>y ay→y 即极限运算与积分号可以交换
由这个结论可知 0 0 lim ( , )d lim ( , )d b b y y a a y y f x y x f x y x → → = ∫ ∫ ， ],[ 0 ∈ dcy 。 即极限运算与积分号可以交换