复变函数第六节复变函数的极限和连续性函数的极限一、#二、函数的连续性三、小结与思考U
第六节 复变函数的极限 和连续性 一、函数的极限 二、函数的连续性 三、小结与思考
复变函数一、函数的极限1.函数极限的定义：设函数w=f(z)定义在z的去心邻域0<-Zol<p内,如果有一确定的数A 存在对于任意给定的>0,相应地必有一正数S(8)使得当0<zol(0<≤)时,有(z)A<那末称A为f(z)当z趋向于z时的极限记作 lim f(z)= A.(或 f(z)-0→A)7Z0注意：定义中z→的方式是任意的U
2 一、函数的极限 1.函数极限的定义: ( ) . 0 (0 ) , ( ) 0, ( ) 0 , , ( ) 0 0 0 0 那末称 为 当 趋向于 时的极限 使得当 时 有 对于任意给定的 相应地必有一正数 内 如果有一确定的数 存 在 设函数 定义在 的去心邻域 A f z z z z z f z A z z A w f z z − − − = lim ( ) .( ( ) ) 0 0 f z A f z A z z z z = ⎯ →⎯→ → 记作 或 注意: . 定义中z → z0的方式是任意的
复变函数2.极限计算的定理定理一设 f(z) =u(x,y)+iv(x,y), A=uo +ivo)Zo=Xo+iyo,那末lim f(z)=A的充要条件是Z→Z0lim u(x,y) = uolim v(x, y) = Vox-→xox-→xoy-→yoy-→yo证((1) 必要性.如果 lim f(z) = A,Z→Zo根据极限的定义当0<(x+ijy)-(x+iyo)<S时,(u+iv)-(uo +ivo)<8,u
3 2. 极限计算的定理 定理一 lim ( , ) , lim ( , ) . , lim ( ) ( ) ( , ) ( , ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v z x iy f z A f z u x y iv x y A u iv y y x x y y x x z z = = = + = = + = + → → → → → 那 末 的充要条件是 设 证 lim ( ) , 0 f z A z z = → 如果 根据极限的定义 0 ( ) ( ) , 当 x + iy − x0 + iy0 时 ( ) ( ) , 0 0 u + iv − u + iv (1) 必要性
复变函数或当 0</(x-x)2+(y-yo)2<s时,(u-uo)+i(v-vo)<, = u-uol<, -Vo<,故 lim u(x,y)=uo,lim v(x, y) = Vo.x-→xox-→xoy-→yoy-→yo(2) 充分性. 若 lim u(x,y)= uo,lim v(x,y) = Vosx-→Xox-→xoy-→yoy-yo那么当 0<(x-xo)2+(y-yo)2<时,812c12有u-uo<v-VoU
4 0 ( ) ( ) , 2 0 2 或当 x − x0 + y − y 时 ( ) ( ) , 0 0 u − u + i v − v , , 0 0 u − u v − v lim ( , ) , lim ( , ) . 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x = = → → → → 故 lim ( , ) , lim ( , ) , 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x = = → → → → 若 0 ( ) ( ) , 2 0 2 那么当 x − x0 + y − y 时 (2) 充分性. , 2 , 2 0 0 有 u − u v − v
复变函数f(z)- A = (u-uo)+i(v-Vo)≤u-uo +v-vo故当 <zol<时，f(z)-A<ε,所以 lim f(z)= A.[证毕]Z-→Z0说明该定理将求复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限问题,转化为求两个二元实变函数u(x,J)和(x,y)的极限问题u
5 ( ) ( ) ( ) 0 0 f z − A = u − u + i v − v 0 0 u − u + v − v 0 , 故当 z − z0 时 f (z) − A , lim ( ) . 0 f z A z z = → 所以 [证毕 ] 说明( , ) . , ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 和 的极限问题 的极限问题 转化为求两个二元实变函数 该定理将求复变函数 v x y u x y f z = u x y + iv x y