注意: ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种 ②复二次型的规范形是唯一的,由秩∫确定. 2.(定理3)任一复二次型经过适当的非退 化线性替换可化为规范形,且规范形唯一 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 E.0 00丿 其中r=秩(A) 推论2两个复对称矩阵A、B合同兮秩(4)=秩(B) 第五章二次型
第五章 二次型 注意： ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. ②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定. 2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退 化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一. 推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵 0 , 0 0 Er 其中r A = 秩( ). 推论2.两个复对称矩阵A、B合同 = 秩( ) ( ). A B 秩
二、实数域上的二次型的规范形 1.实二次型的规范形的定义 设实二次型f(X)=X'AX,A'=A∈R"经过 非退化线性替换X=CY,C∈R"可逆,得标准形 f(X=Y(C)Y d1y2+…+d p+1p+1 其中,d1>0,i=1,2…r,r=秩∫=秩(A) 再作非退化线性替换 第五章二次型
第五章 二次型 二、实数域上的二次型的规范形 再作非退化线性替换 1. 实二次型的规范形的定义 f X Y C AC Y ( ) '( ' ) = 2 2 2 2 1 1 1 1 , p p p p r r d y d y d y d y = + + − − − + + 设实二次型 ( ) ' , ' R 经过 n n f X X AX A A = = 非退化线性替换 X CY C = , Rn n 可逆，得标准形 其中， d i r i = 0, 1 , 2 , r = 秩 f = 秩( ). A
r=1,z,或Y=DZ,(同前) r+1 r+1 D= diag( 9 n 则f(X)=Z'(D'C'ACD)z Zi+ +z-Z P+1 称之为实二次型∫(X)的规范形 第五章二次型
第五章 二次型 则 f X Z D C ACD Z ( ) '( ' ' ) = 2 2 2 2 1 1 p p r z z z z = + + − − − + 1 1 1 1 1 1 1 ( ) r r r r r n n y z d y z d y z y z + + = = = = , 或 Y = D Z , 同前 1 1 1 ( , , , 1 , ,1) r D diag d d = 称之为实二次型 的规范形. f X( )