七、函数的和、差、积、商的求导法则！第二章一元函数微分学及其应用(6) (t)= 2Vxtanx1 +x?(Vxtanx) (++)-Vxtanx(I+*)f'(x)=(1+x)xsecx(1+x)-/xtanx.2xtanx2x(1+x)sec2 x+(1-3x2)tan x2(1+x)x(1+x)360O1
36 七、函数的和、差、积、商的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 （6） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 tan 1 tan 1 2 1 x x x x x x f x x + − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 tan sec 1 tan 2 2 2 1 x x x x x x x x x + + − = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sec 1 3 tan 1 x x x x x x x + + − = + ( ) 2 2 tan 1 x x f x x = +
八、反函数的求导法则第二章一元函数微分学及其应用如果单调函数x=β(）在某一区间.内可导，且()≠0，则它定理3的反函数 =f(x）在对应的区间 I,={xx=(y),yeI内也可导，且f'(x)0 () /y=()由反函数存在定理可知y=f（x）是单调、连续的，当x取得增量△x时，证明Ay=f(x+△r)-f(x)±0 (f(x) 单调)当Ax→0 时，有Ay→0（f(x）连续）.37C
37 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 定理3 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它 的反函数 在对应的区间 内也可导，且 x y = ( ) y I ( y) 0 y f x = ( ) I x x y y I x y = = ( ), ( ) ( ) ( ) 1 y f x f x y = = 由反函数存在定理可知 y f x = ( ) 是单调、连续的，当 x 取得增量 x 时， = + − y f x x f x ( ) ( ) 0 （ ( ) 单调）. f x 证明 →x 0 有 →y 0 （ ( ) 连续）. 当 时， f x
八、反函数的求导法则第二章一元函数微分学及其应用如果单调函数x=β(）在某一区间.内可导，且(y)±0，则它定理3的反函数 y=f(x）在对应的区间I,={xx=p(y),yeI内也可导，且f'(x):[y=(x)p'(y)Ax±0lim因为 x=β(y)可导,且 p()±0，即因此Ay-0 Ay111Ayf'(x)= limlimAxArp'(y)Axr->0AxAy->0limAyAy-→0 Ay本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数380OO
38 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 因为 x y = ( ) 可导，且 ( y) 0 ，即 lim 0 y 0 ，因此， x → y ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 lim lim lim x y y y f x x y x x y y → → → = = = = 本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 如果单调函数 在某一区间 内可导，且 ，则它 的反函数 在对应的区间 内也可导，且 x y = ( ) y I ( y) 0 y f x = ( ) I x x y y I x y = = ( ), ( ) ( ) ( ) 1 y f x f x y = = 定理3
八、反函数的求导法则第二章一元函数微分学及其应用利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数元元-y=arcsinx是x=siny的反函数，x=sinj在12°222内单调、可导，且(siny),=cosy>0，因此，在对应的 =(-1,1）内，有111(arcsinxcosyV1-/1-sin?y(sin y)39O
39 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数. y x = arcsin 是 x y = sin 的反函数， 因此，在对应的 I x = −( 1,1) 内，有 ( ) ( ) 1 arcsin sin x y = 内单调、可导， π π sin 2 2 x y y = − π π , 2 2 y I = − 在 (sin cos 0 ) y y y 且 = ， 2 1 1 cos y 1 sin y = = − 2 1 1 x = −
八、反函数的求导法则第二章一元函数微分学及其应用元元（由于cosy在内大于零，故取正号）2'2同理可得111(arccosxsiny/1-cos?J(cos y)V1-x（由于cos在（0,元）内大于零，故取正号）；40K
40 八、反函数的求导法则 第二章 一元函数微分学及其应用 同理可得 （由于 cos y 在 内大于零，故取正号）； π π , 2 2 − ( ) ( ) 1 arccos cos x y = （由于 cos y 在 (0, π) 内大于零，故取正号）； 1 sin y = − 2 1 1 cos y = − − 2 1 1 x = − −