3.计算下列积分。 例4：计算积分f32(2-2)(z+5 1 dz. 例5：训字积分fno5中 例6：计算复积分手。止
3.计算下列积分。 dz. z z z z =3 ( − 2)( + 5) 1 例4:计算积分 dz z z z =1 cos 例5:计算积分 dz z e z z = − 1 计算复积分 4 例6: 11
三、留数的计算方法 ()如果z为f(z)的可去奇点，则Reslf(z),zol=0. (2)如果z为f(z)的本性奇点，则需将f(z)展开 成洛朗级数求C-· (3)如果z为f(z)的极点，则有如下计算规则 结论1如果z为f(z)的一级极点，那末 Res[f(),]=lim(-zo)f(-z0). 7→Z0 12
(1) 如果 0 z 为 f (z) 的可去奇点, Res[ ( ), ] 0. 则 f z z0 = Res[ ( ), ] lim( ) ( ). 0 0 0 0 f z z z z f z z z z = − − → •结论1 如果 z0 为 f (z) 的一级极点, 那末 成洛朗级数求 . −1 c (2) 如果 0 z 为 f (z) 的本性奇点, (3) 如果 0 z 为 f (z) 的极点, 则有如下计算规则 则需将 f (z) 展开 12 三、留数的计算方法
结论2 如果z为f(z)的m级极点， 那末 da-1 Re(( 证f(z)=cm(z-z0)m+.+c-2(z-z0)2+ +c-1(z-z0)尸+C+C(z-z)+. (2-)"f()=Cm+cm+1(亿-z)+.+C1(亿-Z0)m-1 +C(z-)"+C(亿-z0)m+1+. 13
如果 z0 为 f (z) 的 m 级极点, [( ) ( )]. d d lim ( 1)! 1 Res[ ( ), ] 1 0 1 0 0 z z f z m z f z z m m m z z − − = − − → •结论2 证 = − + + − + − − − − 2 0 2 0 f (z) c (z z ) c (z z ) m m + c−1 (z − z0 ) −1 + c0 + c1 (z − z0 ) + 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − = − + − + − + + − − m m m m z z f z c c z z c z z + c0 (z − z0 ) m + c1 (z − z0 ) m+1 + 那末 13
两边求m-1阶导数， du-1 得 r-lz-z)”f =(m-1)!c1+(含有？-正幂的项) dm-1 -z”fz=(m-lc, 所以Res[f(z),ol=c-1 dm-1 1-1im (m-1)!)"f(). 证毕判
[( ) ( )] ( 1)! , d d lim 1 0 1 1 0 − − − → z − z f z = m − c z m m m z z 0 1 Res[ ( ), ] = − 所以 f z z c +(含有 z − z0 正幂的项) 1 ( 1)! = − − m c [( ) ( )]. d d lim ( 1)! 1 1 0 1 0 z z f z m z m m m z z − − = − − → [( ) ( )] d d 1 0 1 z z f z z m m m − − − 两边求 m −1 阶导数, [证毕] 得 14