1 111 1 解：e=[l+-+ 21:232+=2+1+ 十. !z 21 =22 例2：求z2cos在孤立奇点z=0处的留数 Z Res[e2cos0=0,手，cost-2ax0=0
. 1 cos 例2:求 2 在孤立奇点z = 0处的留数 z z = + + + + = + + + z z z z z ze z z 2! 1 ] 1 3! 1 2! 1 1 [1 2 3 1 解： 2 = 2 − 2 + 4 + = 2 − + 2 + 4! 1 2! 1 ] 4! 1 2! 1 [1 1 cos z z z z z z 解：z 6 , 2 1 Re [ ,0] 1 = z s ze ze d z i i z z = = = 2 1 2 1 1 ,0] 0, 1 Re [ cos 2 = z s z 2 0 0 1 cos 1 2 = = = dz i z z z
例3：求sn2 在孤立奇点z=0处的留数 1 2-3到 351 Resm:01-0, sind=2xix0=0 考察积分f(z,若闭曲线C内仅有f(z)的一个 孤立奇点，可利用留数定义去求积分，但是如 果在闭曲线内有f(z)的多个孤立奇点时，可利用 下面的留数定理计算
= − + + = − + − 3! 5! ] 1 3! 5! [ sin 1 3 5 2 4 z z z z z z z z 解：例3:求 在孤立奇点z = 0处的留数. z sin z ,0] 0, sin Re [ = z z s 2 0 0 sin 1 = = = dz i z z z 下面的留数定理计算。 果在闭曲线内有 的多个孤立奇点时，可利用 孤立奇点，可利用留数定义去求积分，但是如 考察积分 若闭曲线 内仅有 的一个 ( ) ( ) , ( ) f z f z dz C f z C
二、留数定理及其应用 留数定理 函数f()在区域D内除有限个孤 立奇点1,22，.，2m外处处解析，C是D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线，那末 ff(ei=2m∑Res[fe),2]
留数定理 f (z) 在区域 D内除有限个孤 n z ,z , ,z 1 2 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 ( )d 2 Res[ ( ), ]. 1 = = n k k C f z z i f z z 立奇点 函数 8 二、留数定理及其应用
证 如图 ffz=ffz)d+∫fad++ff( C 两边同时除以2πi且 20fe脚+2Ie++af脚 ResIf(z),]+Reslf(),]++Res[f(z),nl -∑Rsf(z,z】即可得. [证毕] k=1
证 + + + C C Cn f (z)dz f (z)dz f (z)dz 1 2 f z z = C ( )d f z z i f z z i f z z i C C Cn ( )d 2 1 ( )d 2 1 ( )d 2 1 1 2 + + + Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] 1 2 n = f z z + f z z ++ f z z Res[ ( ), ] . 1 即可得 = = n k k f z z [证毕] 两边同时除以 2i 且 1z 2 z nz D C . . . 如图 9
说明： (①)条件：f(z)在C上及C内部除有限几个孤立奇点外 处处解析： (2)将复积分ff(z)的计算转化成f(z)在C内几个 孤立奇点处的留数和。 (3)留数定理提供了一种复积分的计算方法。 ff(eh=2m∑Res[f(z),2k] k=I
说明: 处处解析； (1)条件: f (z)在C上及C内部除有限几个孤立奇点外 10 孤立奇点处的留数和。 将复积分 f z dz的计算转化成f z 在C内几个 C (2) ( ) ( ) (3)留数定理提供了一种复积分的计算方法。 ( )d 2 Res[ ( ), ]. 1 = = n k k C f z z i f z z