第八章拉普拉斯变换主要内容 一、拉普拉斯变换的概念 二、拉普拉斯变换的性质 三、拉普拉斯变换的逆变换 四、拉普拉斯变换的应用
第八章拉普拉斯变换主要内容 一、拉普拉斯变换的概念 二、拉普拉斯变换的性质 三、拉普拉斯变换的逆变换 四、拉普拉斯变换的应用
第一节拉普拉斯变换的概念 一、问题的引入 傅里叶变换具有广泛的应用，但是有前提条件，除了 满足狄氏条件外，还要函数在(-∞，+∞)上绝对可积 f(okit< 实际上这个条件非常强，对函数的要求较高，因此一 些常见的函数都不满足这一点这就限制了傅里叶 变换的应用
+ − f (t)dt 第一节拉普拉斯变换的概念 一、问题的引入 满足狄氏条件外 还要函数在 上绝对可积 傅里叶变换具有广泛的应用 但是有前提条件 除了 , ( , ) , , − + . , , , 变换的应用 些常见的函数都不满足这一点 这就限制了傅里叶 实际上这个条件非常强 对函数的要求较高 因此一
另外，通常在实际应用中的许多以时间为自变量的 函数往往在t<O时无意义的，或者不需要考虑的，像 这样的函数也不能取傅里叶变换 对于一个函数有可能因为不满足傅氏变换的条件， 导致傅氏变换不存在，这极大的限制了傅氏变换的 应用，如何对函数进行适当的修改才能克服上述缺 点呢？为此将p(t)乘上(t),这样小于零的部分的函 数值就等于零，同时指数函数em(B>O)下降的速度
. 0 , , , 这样的函数也不能取傅里叶变换 函数往往在 时无意义的 或者不需要考虑的 像 另外 通常在实际应用中的许多以时间 为自变量的 t t 数值就等于零 同时指数函数 下降的速度 点呢 为此将 乘上 这样小于零的部分的函 应用 如何对函数进行适当的修改才能克服上述缺 导致傅氏变换不存在 这极大的限制了傅氏变换的 对于一个函数有可能因为不满足傅氏变换的条件 , ( 0) ? ( ) ( ), , , , − t e t u t
很快，因此几乎所有使用的函数乘上(t)后在乘上 e(B>O)后得到函数的傅氏变换都存在 ∫puu0eei=0fe"h 其中s=B+iw,f(t)=p(t)u(t), f()e"d=F(s) 由此产生的这种新型积分称为拉普拉斯变换
后得到函数的傅氏变换都存在 很快，因此几乎所有使用的函数乘上 后在乘上 ( 0) ( ) − t e u t t u t e e dt f t e dt t iwt −st + − − + − = 0 ( ) ( ) ( ) s = + iw, f (t) =(t)u(t), ( ) ( ) 0 f t e dt F s st = − + 由此产生的这种新型积分称为拉普拉斯变换. 其中
二、拉普拉斯变换的定义 1.定义9.1设函数f()是定义在[0，+o)上的实值函数， 如果对于复参数s=B+w,积分 F(s)=fe"d 在复平面s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉 普拉斯变换 F(s)=L(f(t)) 关于定义的说明： (1)F(s)称为f(t)拉普拉斯变换，而f(t)称为F(s)拉 普拉斯逆变换，可记为
F s f t e dt −st + = 0 ( ) ( ) F(s) = L( f (t)) 二、拉普拉斯变换的定义 如果对于复参数 积分 定义 设函数 是定义在 上的实值函数 , 1. 9.1 ( ) [0, ) , s j w f t = + + . , ( ) ( ) 普拉斯变换 在复平面s的某一区域内收敛 则称F s 为f t 的拉 关于定义的说明: 普拉斯逆变换,可记为 (1)F(s)称为f (t)拉普拉斯变换,而f (t)称为F(s)拉