上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十二讲 高阶微分方程和方程组（解的存在、唯一、连续可微性）

练习： 对于三阶微分方程 y"=1+sin(x2y")-y, y0)=1,y(0)=-1,y"(0)=0 ●将其化成方程组. ●验证三阶方程的解与相应的方程组的解之间的关系. 4口6·4之··生+2a0 张样：上涛交通大学数学系 第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在。难一、连续可微性

ˆS: Èuná©êß y 000 = 1+sin(x 2 y 00)−y, y(0) = 1, y 0 (0) = −1, y 00(0) = 0 ÚŸz§êß|. ynêß)ÜÉAêß|)Ém'X. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5

从方程(1)和(3)之间的关系，容易得到如下结论. 命题21 高阶微分方程(1)和微分方程组(3)的解的关系如下： a)y=φ(x)是高阶方程(1)满足(2)在某区间J上的解当且仅 当 zx)=(p(x),0'(x,o-x)7 是方程组(3)满足(4)在J上的解，其中T表示矩阵的转置. 口↑回+之·4主12月风0 张样：上海交通大学数学系第十二讲、高阶微分方程和方程维：解的存在。难一、连续可微牲

lêß (1) ⁄ (3) Ém'X, N¥Xe(ÿ. ·K 21 pá©êß (1) ⁄á©êß| (3) )'XXeµ a) y = φ(x) ¥pêß (1) ˜v (2) 3,´m J ˛)Ö=  z(x) = (φ(x),φ 0 (x),...,φ (n−1) (x)))T , ¥êß| (3) ˜v (4) 3 J ˛), Ÿ• T L´› =ò. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5

命题21（续） b)y1=(x),,yn=(x)是高阶方程(1)在某区间J上的线 性无关解当且仅当 z(x)=( 1(,x.…,9-6》7, zn(x)= (9n(,(x,,-(x))7, 是方程组(3)在J上的线性无关解。 由命题21，下面不单独讨论高阶方程初值问题解的理论， 而只讨论方程组的解的理论」 口0+4之·4生+2刀a0四 张样：上涛交通大学数学系 第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在。难一、连续可微性

·K 21 (Y) b) y1 = φ1(x),..., yn = φn(x) ¥pêß (1) 3,´m J ˛Ç 5Ã')Ö= z1(x) = (φ1(x),φ 0 1 (x),...,φ (n−1) 1 (x)))T , . . . zn(x) = (φn(x),φ 0 n (x),...,φ (n−1) n (x)))T , ¥êß| (3) 3 J ˛Ç5Ã'). d·K 21, e°ÿ¸’?ÿpêß–äØK)nÿ, ê?ÿêß|)nÿ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5

方程组解的存在、唯一与连续可微性 类似于纯量方程， 方程组初值问题的初始条件可以转化为方程组的参数。 不失一般性，考虑含参数的n阶微分方程组初值问题 y=fx,y,),y(0)=0, (6) 其中(x,y)∈2CR1+",入∈ACRm,2,A都是开区域. 设问： ·微分方程组解的存在唯一性如何叙述和证明？ 口年9·+二￥+生42刀风 张样：上海交通大学数学系 第十二讲，商阶微分方程和方程组：解的存在、唯一、连续可微料

êß|)3!çòÜÎYåá5 aquX˛êß, êß|–äØK–©^áå±=zèêß|ÎÍ. ÿîòÑ5, ƒ¹ÎÍ n á©êß|–äØK y 0 = f(x,y,λ), y(0) = 0, (6) Ÿ• (x,y) ∈ Ω ⊂ R 1+n , λ ∈ Λ ⊂ R m, Ω, Λ —¥m´ç. Ø: á©êß|)3çò5X¤Q„⁄y²º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5