第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
第五章定积分一、换元公式定理1假设函数在[止连续函数满足条件(1)==口(2)在[]或[上具有连续导数且其值域于[则有bf(x)dx =/ f[α Jp'(t)dt.Ja定积分换元公式第二节积分上限的函数及其导数
第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 一、换元公式 定理1 定积分换元公式 则有 ᵱ ᵱ(ᵱ) ᵱ 假设函数ᵱ()ᵱ在[,ᵱ]上连续, 函数ᵱ= ᵱ(ᵱ)满足条件 (1) ᵱ(ᵱ) = ᵱ,(ᵱ) = ;ᵱ (2) ᵱ(ᵱ)在[ᵱ,] 且其值域ᵱᵱ= [ᵱ,], (或[ᵱ,])上具有连续导数
第五章定积分证设F(x)是f(αx)的一个原函数,则f(x) dx = F(b) -F(a)记(=[],: ( =() : (=[(：是（的一个原函数f[p(t)]p'(t)dt = Φ(b) -Φ(a) =[-[= F(b) - F(a)证毕f[p(t)]p'(t) dt.f(x)dx :第二节积分上限的函数及其导数
第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 证毕 证 记ᵱ(ᵱ) = ᵱ[ᵱ(ᵱ)], ∵ ᵱ′ (ᵱ) = ᵱ′ (ᵱ(ᵱ)) ⋅ ᵱ′ (ᵱ) = ᵱ[ᵱ(ᵱ)] ᵱ′ (ᵱ), ∴ ᵱ(ᵱ)是ᵱ[ᵱ(ᵱ)] ᵱ′ (ᵱ)的一个原函数, = ᵱ[ᵱ(ᵱ)] − ᵱ[ᵱ(ᵱ)]
第五章定积分bBf[ ]幼 dt注定积分换元公式f (x)dxaa（1）当时，换元公式仍成立；（2）换元必换限原函数中的变量不必代回.（3）换元公式也可反过来使用，即6cβ令x = β(t)dt1幼f (x)dxf[幼E年aα-βrβ配元不换限！1 f[dt =f[或配元Jdp(t)αa第二节积分上限的函数及其导数
第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 注 定积分换元公式 配元不换限! ᵱ(ᵱ) ᵱ ′ (ᵱ) （1）当ᵱ> ᵱ时, 换元公式仍成立; 或配元 ᵱ(ᵱ) ᵱ ᵱ(ᵱ) ′ (ᵱ) （2）换元必换限,原函数中的变量不必代回. （3）换元公式也可反过来使用, 即 ᵱ(ᵱ) ᵱ ′ (ᵱ) ᵱ= ᵱ(ᵱ),ᵱ= ᵱ(ᵱ)
定积分第五章TT2例2计算cos5 x sin xdx .不写出换元则不需要换限JoTT解2令t = cosx,dt =-sinxdx,cos5 x sin xdx元So→日 0,=2TMCoscosxE0=日1J0coFI2t5dt1原式=cos6xJ1610116I6:66=0第二节积分上限的函数及其导数
第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例2 解 不写出换元,则不需要换限 ᵱ= π 2 ⇒ᵱ= 0, ᵱ= 0 ⇒ᵱ= 1. 原式 = 1 6 = . 1 6