第三节定积分在物理学上的应用、变力沿直线所作的功-二、水压力三、引力四、转动惯量
第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 三、引 力 二、水压力 四、转动惯量
第六章定积分的应用变力沿直线所作的功回顾：常力沿直线所做的功W=F·口问题：设物体在连续变力F(x）作用下沿x轴从x=α移动到x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功解决方法：微元法在[a,b]上任取子区间「x,x+dxl,在其上所作的功元素为dW = F(x)dxbxx+dxaxrb因此变力F(x)在区间[ab] 上所作的功为W=F(x)dxa第三节定积分在物理学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 一、变力沿直线所作的功 x 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 . a x x + dx b 上所作的功为 解决方法:微元法 回顾: 问题: 常力沿直线所做的功 W = F ⋅ ᵰ. x = b, 在其上所作的功元素为 [a,b]
第六章定积分的应用例1在一个带+9电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷α处移动到b处（a<b)，求电场力所作的功解当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为qF=A+11+口r2.口口口kq口口中口dr则功的元素为dW22bkg7所求功为W2bPkq+kq注电场在r=a处的电势为drr2aa第三节定积分在物理学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例1 一个单位正电荷沿 求电场力所作的功. ᵰ ᵰ 解 由库仑定律电场力为 ᵰ ᵰ ᵰ+ ᵰ ᵰ 则功的元素为 所求功为 注 + ᵰ + 1 ᵰ 电场在 r = a 处的电势为 = kq a
第六章定积分的应用例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点α处移动到点b处求移动过程中气体压力所作的功：解建立坐标系如图.由物理学知压强kkp与体积V成反比,即 p==xs,故作用在活塞上的k力为F=p·S:SkdW=Fdx-dx功元素为bxxx+ dxx口abkbW所求功为-dx= k[lnxib = k lnxa第三节定积分在物理学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例2 求移动过程中气体压力所作的功 . 解 建立坐标系如图. 由物理学知压强 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 由于气体 x p = k V = k xS, F = p ⋅ S = k x dW = S ᵰ a x + dx b x
第六章定积分的应用例3一蓄满水的圆柱形水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？（设水的密度为p）解建立坐标系如图.取x为积分变量则xE[0,3]0在任一小区间[xx+dh上的一薄层水的重力为口p·π32dx(kN)x5m这薄层水吸出桶外所作的功（功元素）为x+dxdw = 9πgp xdx故所求功为3mx25x=112.5元（kl）9元gpxdx =9元W:210第三节定积分在物理学上的应用
第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 解 一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 5 0 3m 例3 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?（设水的密度为ρ） 建立坐标系如图. 取x为积分变量,则x ∈ [0,3]. ᵰ x 5m x ᵰ⋅ (kN) 在任一小区间 [x,x + d]ᵰ上的 dW = 9π ᵰ = 112.5πᵰ(kJ)