30第2章概率论公理化 P{(标记球被取出}= (D-D飞 ) 也可以这样求解：设k个球是顺序地被取出，记A:表示标记球在第i次被取出 (亿=1,2，·，).既然所有球在第i次被抽取的概率是一样的，可知P(A)=1/m. 而这些事件是彼此互不相容的，因此， P标记球被取出)=P(心A=立P-片 另外，P(A:)=1/n可以这样推导：考虑到抽球的过程是有顺序的，一共有n(n- 1).(n-k+1)=n!/(m-)！种等可能试验结果，其中有(m-1)(n-2).(m- i+1(1)(n-).(m-k+1)=(m-1)/(m-)！种试验结果表示标记球被第i次 取出，因此 PA=a-片 n！ 例5e有n+m个球，其中n个红的，m个蓝的，将它们随机排成一排，也即 所有(n+m)!种排列都是等可能的.如果只记录连续排列的球的颜色，证明各种可 能的结果的概率是一样的. 解：我们将(n+m)个球的次序排列称为一组球的排列，将n十m个球的颜色 次序排列称为一组球的颜色次序排列.球的排列共有(m+m)!种，将红球之间作任 何一个位置的置换，将蓝球之间作任一位置置换，置换的结果并不影响球的颜色次 序排列.从而，一组球的颜色次序排列，对应于m!个球的排列.这说明球的次序排 列也是等可能的.并且每一种颜色次序出现的概率为nm!/(n+m川 例如，假设有2个红球，记为r1,r2;两个蓝球，记为b1,b2;这样，一共有4种球 的排列，每一个颜色次序的排列，对应于22！个球的排列.如下面四个球的排列对应 于相同的颜色次序排列： r1,b1,r2,b2T1,b2,r2,b1r2,b1,r1,b2r2,b2,r1,b1 因此，每一个颜色次序排列出现的概率为4/24=1/6， 39 例5f一手牌有5张，如果这5张牌是连续的，但又不是同一花色，那么称为 顺子，比如，“黑桃5，黑桃6，黑桃7，黑桃8，红桃9”就是一副顺子.试求一手牌是 顺子的概率是多大？ 解：假设所有(）种组合都是等可能的.先看看由A,23,45”这5张牌（花色 不同)能组成多少个顺子，首先，“A”有4种可能，同样其他4张牌也分别有4种可
2.5等可能结果的样本空间31 能，所以，一共有45种可能，但是，其中有4种可能是5张牌是同花色（这种情况称 为同花顺)，所以一共是45-4种顺子.类似，“10，J,Q,K,A”这种顺子也有45-4 种，因此一共有10×(45-4)种顺子这样所求概率为10×(45-4)/(2）≈0.0039.■ 例5g一手牌有5张，如果其中3张点数一样，另两张点数也一样的话，称为 “福尔豪斯”(full house,.也就是说“福尔豪斯”由3张点数一样的牌加上一对组成). 试问一手牌恰好是“福尔豪斯”的概率是多大？ 解：同样也设所有(2)种组合都是等可能的注意到像2张10,3张J”这样 的“福尔豪斯”一共有()()种组合，又因为一对的点数有13种选择，在选定一 对的点数后，剩下12种可能的点数用于选择3张一组的牌.所以所求概率为 13×12×(⑤（③/(）≈0.0014 ◆ 例5h桥牌比赛中，52张牌被分给4位选手，求下列事件概率： 40 (a)其中有一人拿到了13张黑桃； (b)每人都拿到了1张“A”. 解：国2张牌在4人中分派，一共有(3,1a,13）种可能分深方法，某个指 定的选手拿到13张暴机的分派方法数是（设8,1》所以4人中有一人拿到13张 黑桃的概率为 52 4×(a8.18/(a,1823.13）≈63×10-a (b)现来求每个选手恰好拿一张“A”的概率.先把“A”放一边，剩下48张牌 分给4个人的可能分派方法数为(12,122,12接下来，将4张A分给4个选 手的可能分派方法数为4，因此，每人得到1张A的所有可能分派方法数为4！× (12,12,12,12)从而所求概率为 x(2.22,12/八a.l82a13≈a1s 50 有些事件的概率是出乎想象的，下面两个例子就是如此： 例5i房间里有n个人，没有两人在同一天生日的概率是多大？n多大时，才 能保证此概率小于1/2？ 解：每个人的生日都有365种可能，所以n个人一共是365”种可能（此处忽略 有人生日是2月29日的可能性).假定每种可能性都是一样的.可知所求事件的概 率为(365)(364)(363).(365-n+1)/365m.令人惊异的是，一旦n≥23，这个概率
32第2章概率论公理化 就比1/2要小，也就是说，房间里人数如果超过23的话，那么至少有两人为同一天 生日的概率就大于1/2.很多人一开始对这个结果很吃惊，因为23相对于一年365 365 天来说太小了，然而，对每两个人来说，生日相同的概率为38=365,23个人 41☐ 一共可以组成()=253对，这样看来，上述结果就不会太令人吃惊了. 当房间里人数达到50时，至少两人同一天生日的概率大概为97%，如果人数达 到100，那么两人同一天生日的优势（优势的定义见3.3节）为3×106：1，也就是说 3 ×106 这个概率比3X10©十还要大 ■ 例5j52张牌扣在桌上一张一张翻开，一直到出现一张“A”为止.接下来再 翻一张牌，问出现黑桃“A”和出现梅花2的概率哪个大？ 解：为了计算第一张“A”之后出现黑桃“A”的概率，先要计算在所有的（⑤2 种可能的发牌次序中，有多少种是第一次出现“A”后紧接着就出现黑桃“A”·先 将51张牌（去掉黑桃“A”)任意排列，然后将黑桃“A”找个位置插进去，然而，只 有一个位置即第一次出现“A”以后接下来的位置才是满足要求的位置.比如，假设 其他51张牌的顺序为： 梅花4，红桃6，方块“J”,黑桃5，梅花“A”,方块7，.，红桃“K” 接下来，只有一种插入方法满足条件，即： 梅花4，红桃6，方块“J”,黑桃5，梅花“A”,黑桃“A”,方块7，.，红桃“K” 因此，第一张A出现后，紧接着是黑桃“A”的次序一共有（⑤1）1种，而所求概率为 第张人后是福装公)一器-克 用同样的方法，可以得知，第一张“A”后出现梅花2（或任何其他牌）的概率也 为1/52.也就是说，52张牌中的任意一张牌（包括任意花色的“A”)出现在第一张 “A”后面的概率都是1/52. 这个结果会让很多人吃惊！事实上，一般的反应都是认为第一个“A”出现后 接着出现梅花2的概率要大于出现黑桃“A”的概率.因为第一张“A”就有可能是 黑桃“A”本身.这就减少了黑桃“A”紧接着第一张“A”的可能性.但是他忽略了 第一张“A”前面可以出现梅花2这一事实.这又减少了梅花了紧跟在第一张“A” 后的可能性然而，因为有1/4的机会黑桃“A”是第一张出现的“A”(因为4张“A” 出现在第一位是等可能的)，而且，仅仅有1/5的机会是梅花2出现在第一张“A”之 前（因为梅花2和四张“A”中的任一张排在最前面的可能性是相同的），这点又好 像说明了梅花2紧跟在第一张“A”后的可能要大一些.然而，事实并非如此，更深 42 」入的分析可以说明两者的可能性是一样的. 例5k一个橄榄球队有20名进攻球员和20名防守球员，现在要给他们安排
2.5等可能结果的样本空问33 宿舍，每两人一个宿舍.如果随机分派，没有一个宿舍既有进攻队员也有防守队员 (简称为“进攻防守对”）的概率是多大？正好有2对“进攻防守对”的概率是多大 (i=1,2,.,10)9 解。将0人分成有序的20对一共有(220,2=器种可能也就是 401 说，一共有(40)！/220种方法将这些选手分成第一对、第二对，等等.因此，一共有 (40)!/220(20)种方法分成不考虑顺序的20对.而且，要想不出现“进攻防守对” 只有将进攻队员之间配对，防守队员之间配对，一共有(20)！/21(10)]2种方法.因 此，没有“进攻防守对”的概率（记为P)如下： (20)!12 (210(10I/ %= [(20)！]3 (40)！ [(10)12(40)1 220(20)1 现在计算B,也即正好有2”对“进攻防守对”的概率首先，一共有()种方 法选取2个进攻队员和2个防守队员以便组成“进攻防守对”，这4红个人能够组 成(2)！种可能“进攻防守对”（因为第一个进攻队员可以和2个防守队员配对，第 二个进攻队员可以和2i-1个防守队员配对，依此类推).剩下的20-2五个进攻队 员防守队员到)只能内部配对，一共有（留）：29] 种可能方式配 成“进攻防守对”.因此 (20-2)！12 (er[2"2” 140)1 i=0,1,.,10 20201 这样，根据上述公式就可以算出PB2,i=0,1,.,l0.另外，利用Stirling公式(m！≈43 nn+1/2e-n√2元)还可以算出其估值.比如 PB≈1.3403×10-6乃0≈0.345861P20≈7.6068×10-6 ■ 接下来三个例子是命题4.4的运用.在例51中引入概率来迅速解决计数问题， 例51一个俱乐部里有36人会打网球，28人会打软式网球，18人会打羽毛球 22人会打网球和软式网球，12人会打网球和羽毛球，9人会打软式网球和羽毛球：4 人三种球都会打，试问：至少会打一种球的有多少人？ 解：记N为俱乐部总人数.设从俱乐部中随机地抽取一人，又假设C为它的 任一子集，那么抽到一人刚好在C中的概率为 P(C=C中人数
34第2章概率论公理化 设T,S,B分别表示会打网球、软式网球和羽毛球的人的集合，那么利用上述 公式以及命题4.4可知 P(TUSUB) =P(T)+P(S)+P(B)-P(TS)-P(TB)-P(SB)+P(TSB) =36+28+18-22-12-9+4_43 因此，至少会打一种球的人数为43人. ■ 接下来的例子不但有一个很让人吃惊的答案，而且在理论上也很有意义， 例5m(配对问题)房间里有人参加舞会.如果所有人都将帽子扔到屋中央 混在一起，然后每人再随机拿一个帽子.求以下事件的概率： 44 (a)没有一个人拿到自己的帽子.(b)正好k个人拿到了自己的帽子 解：(a)先计算至少有一人拿到自己的帽子的概率.记E,i=1,2,.,N表示 “第i人拿到了自已的帽子”.这样，由命题4.4，至少有一人拿到了自己的帽子的概 率为： P(UE)=∑P(E)-∑P(E,E,)+ +(1)n*1 ∑P(E,E2.En) +·+(-1)N+1P(E1E2.Ew) 如果把试验结果看成是一个N维向量，其中第i个元素是第i个人拿到的帽子编 号，这样一共有N!种可能的结果，例如，结果(1,2,3，·，N)表示每人拿到的都是 自己的帽子.进一步，E,E2.E.表示1,2，.，in这n个人拿到的是自己的帽 子，这种可能性会有(N-n(N-n-1).3·21=(W-n)！种，因为剩下的N-n 个人，第一个人有N-n种选择方法，第二人有N-n-1种选择方法，依此类推， 由假定知N个人的！种选择都是等可能的，因此 PE,B.E)=W-ny 又因∑，<<<nP(E:E。.E)一共含有(（项，所以 N!(N-n)！ ∑P(E:E.E)=N-ninINI- 1 i1<2<<n 将上式代入P(U1E)的公式，得 P(）=1-7+7-+(-1