2.4几个简单命题25 举个例子，掷一枚骰子，出现1的概率肯定小于等于出现奇数的概率. 下一命题借助两事件的概率给出了它们的并的概率与交的概率之间的关系。 命题4.3P(EUF)=P(E)+P(F)-P(EF) 证明：注意到EUF可以表示为两个不相容事件E和EF的并，根据公理3 可知 P(EUF)=P(EUEF)=P(E)+P(EF) 另外，由F=EFUEF,再利用公理3也可以得到 P(F)=P(EF)+P(EF) 或等价地 P(EF)=P(F)-P(EF) 32 将它代入前面关于P(EUF)的表达式，命题得证. 命题4.3也可以利用韦恩图来证明，如图2.4. 将EUF分成3个互不相容的部分，如图2.5所示.第I部分表示的是所有属 于E但不属于F的点（也即EF),第Ⅱ部分表示的是所有既属于E也属于F的 点（也即EF),第III部分表示所有属于F但不属于E的点（也即EF). 图2.4市恩图 图2.5市恩图 从图2.5上可以看出， EUF=IUIIUIII E=IUII F=IIUIII 由于1L,I是互不相容的，结合公理3可以得到： P(EUF)=P(I)+P(II)+P(III)P(E)=P(I)+P(II)P(F)=P(II)+P(III) 由以上就可以得出P(EUF)=P(E)+P(F)-P(四)，又因为=EF,命题4.3得 以证明. 例4a某人度假时随身带了两本书.他喜欢第一本书的概率为0.5，喜欢第二 本书的概率为0.4，两本书都喜欢的概率为0.3，问两本书都不喜欢的概率是多大？33
26第2章機来论公理化 解：令B:表示他喜欢第本书（亿=1,2），那么他至少喜欢一本书的概率为 P(B1UB2)=P(B)+P(B2)-P(BB2)=0.5+0.4-0.3=0.6 因为两本书都不喜欢的对立事件是至少喜欢一本书，所以 P(BBS)=P(B1UB2))=1-P(B1UB2)=0.4 以下公式计算三个事件E,F,G之中至少有一个发生的概率： P(EUFUG)=P[(EUF)UG 由命题4.3可知上式等于 P(EUF)+P(G)-P[(EUF)G] 由分配律可知(EUF)G=EGUFG,因此由上面式子可得 P(EUFUG)=P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EGUFG) =P(E)+P(F)-P(EF)+P(G)-P(EG)-P(FG)+P(EGFG) P(E)+P(F)+P(G)-P(EF)-P(EG)-P(FG)+P(EFG) 以下的命题，也称为容斥恒等式(inclusion-exclusion identity）,可由归纳法推导 得到。 命题4.4 P(S UE2U.UEn)=∑P(E)-∑P(E,E,)+. i四1 ,<0 +(-1r+1∑P(E,E2.E.) ,<<.<i +.+(-1)n+1P(E2.En) 其中，∑1<<<.P(E,B。.E,)表示对-切下标集合{1,2，.，n所 对应的值求和，和项一共包含(）项 [34 也就是说，n个事件并的概率，等于这些事件的概率之和，减去两个事件同时发 生的概率之和，再加上三个事件同时发生的概率之和. 注释 1.作为命题4：4的直观解释，首先注意到如果样本空间里的某个结果不属于任意的 B,那么等式两边都不应该有它的概率.另一面，假设某个结果正好包含在m个 E:里面（其中m>0,那么既然它属于U,E,这个结果的概率在P(UkE)中
2.4几个简单命题27 只计算一次.而且，因为这个结果也被包含在形如E,E,E这样的(C) 个子集中，k=1,.,m,在命题4.4等式的右边，这个结果的概率被计算了 (）-()+(）-.±() 次.因此，对于m>0,我们必须证明 1=(）)-()+()-±(m) 然而，因为1=(0)，上式等价于 (-0=0 而这是二项式定理的结果，因为 0=-1+1r-2(g-4ym- i=0 2.以下式子是容斥恒等式更简明的写法： P(-宫1r三 3.在容斥恒等式中，右边如果只取前一项，那么得到事件并的概率的一个上界；如 果取前两项，得到事件并的概率的一个下界；取前3项，得到一个上界；取前4项， 得到一个下界，以此类推.也就是说，对于事件E,En,有 35 P(UEs∑PE,) (4.1) =1 1 P(UE≥∑P(E)-∑P(E,E (4.2) i=l =1 P(UE)≤∑P(E)-∑P(EE)+∑P(EE,E) (4.3) =】 <i 等等.为了证明这些不等式，先注意到 E:=E1 UEFE2 UEfEE3 U.UEGEn 1 也就是说，E:里至少有一个发生，相当于E发生，或者E不发生，但是E2发 生，或者E、E2都不发生，但E发生，等等.因为上式的右边是一系列互不相 容事件的并，我们有
28第2章概率论公理化 P=P(B)+P(Ea)+P()++P(En) 一6+ (4.4) 令B:=.!=(U,<E)表示前i-1个事件都不发生，利用恒等式 P(E)=P(B:E)+P(B:Ei) 可证明 P(E)-P(E.E-E)+P(EUE】 也即 P()P(E:)-P() 将此代入(4.4)式即可得到： P(-∑PE)-∑P(gE) (4.5) 因为概率总是非负的，所以，由(4.5)式便可直接得到不等式(4.1).然后，给定， 利用不等式(4.1)可得 36 P(UBE)P() 此式结合(4.5)式，又可得到(4.2)式。现在给定元，将不等式(4.2)应用到 PU<EE,可得到 P(UEE)≥∑P(EE)-∑P(E,EEE) k<jst =∑P(EE)-P(EE,E) i<i k< 由上式，结合(4.5)式，便可得到(4.3)式.其他的不等式都可以通过这种方法得到 2.5等可能结果的样本空间 对很多试验来说，一个很自然的假设是，样本空间里的所有结果发生的可能性 是一样的.也即，假定样本空间S是个有限集，不妨设为S={1,2,.,N,这时就 经常会自然地假设 P({1})=P({2})=.=P({N}) 结合公理2和公理3，上式意味着（为什么？） P)=Ni=1,2,N
2.5等可能结果的样本空问29 再利用公理3就可以得到对任何事件E P(E)=E中的结果数 S中的结果数 也就是说，如果假定一次试验里的所有结果都是等可能发生的，那么任何事件E发 生的概率等于E中所含有的结果数占所有样本空间里的结果数的比例。 例5a掷两枚骰子，朝上那一面数字之和为7的概率是多少？ 解：仍假设所有的6种可能结果都是等可能发生的，这样，就有6种可能结果 满足数字之和等于7即(1,6).(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1).所以，两枚骰子点数之和 为7的概率应该是6/36=1/6， 例5b一个碗里面-一共有6个白球，5个黑球，随机地从里面取出3个球，问恰 好有一个白球两个黑球的概率是多少？ 37 解：首先考虑取球是有顺序的，样本空间一共包含11×10×9=990种结果。 现在考虑事件“取出一个白球，两个黑球”所包含的可能结果：第一个球是白的，后 两个球是黑的一共有6×5×4=120种：第一个球是黑的，第二个球是白的，第三 个球又是黑的一共有5×6×4=120种；前两个球是黑的，第三个球是白的一共有 求藏率为种视取意味着样本空间的来移是等可能发生的所所一 990 11 这个问题也可以认为取球是没有顺序的，从这个角度看，样本空间一共存在 ()=165种结果当然，这165种结果也是等可能的.与事件“一个白球，两个黑 球”相关的结果有()（⑨种，因此，抽出一个白球和两个黑球的概率为(）（②）/ (3)=1这个结果同前面答案是一致的 ◆ 例5c一个委员会由5人组成，需要从6个男人和9个女人中随机选取，问委 员会由3个男人和2个女人组成的概率有多大？ 解：假定随机选取则意味着所有()种组合的选择是等可能的，而与事件“3 男2女"相关的结果有（⑨种因此所讨论事件的概率为：（侣）份/(）=0 例5d一个坛子里共n个球，其中一个做了标记.如果依次从中随机抽取k个 球，问做了标记的球被取出来的概率有多大？ 38 解：从n个球中选取飞个球，一共有()种选取方法，每一种选取方法都是等 可能的.与事件“选中带标记的球”相关的选法共有()（公二）种，因此