2目录 6.3独立随机变量的和. 214 第8章 极限定理 4*.334 6.4离散情形下的条件分布· 219 8.1引言 .334 6.5连续情形下的条件分布. ·222 8.2切比雪夫不等式及弱大数律.334 *6.6次序统计量 ·225 8 中心极限定理. .337 6.7随机变量函数的联合分布· 229 8.4强大数律 .342 *6.8可交换随机变量 235 8.5其他不等式 345 小结 239 8.6 用泊松随机变量通近独立的伯努 习题. 240 利随机变量和的概率误差界.351 理论习题. 246 小结 352 自检习题. 24g 习题 353 第7章期望的性质 4.253 理论习题 71引言. ·253 自检习题. 356 72随机变量和的期塑 .253 第9章概率论的其他课题 .358 *7.2.1通过概率方法将期望值 9.】泊松衬程. +**.358 作为界. .26 9.2 马尔可夫链. .360 *7.2.2关于最大数与最小数的 9.3惊奇、不确定性及痛+.365 9.4编码定理及熵. .368 恒等式. 265 7.3试验序列中事件发生次数的 小结. “373 理论习题 .374 矩 26 74协方差、和的方差及相关系 自检习题 ·375 第10章模拟 377 数 274 7.5条件期望. 10.1引言 281 377 7.5.1定义 10.2具有连续分布函数的随机变 281 量的模拟技术， 379 7.5.2利用条件计算期望. 282 10.2.1反变换方法. ·379 7.5.3利用条件计算概率 289 10.2.2舍取法. 380 75.4条件方差 295 10.3模拟离散分布. ·385 7.6条件期望及预测 294 10.4方差缩减技术 386 7.7矩母函数. 298 10.4.1利用对偶变量.387 7.8正态随机变量进一步的性质.306 10.4.2利用“条件”缩减 7.8.1多元正态分布. 306 方差 ++388 7.8.2 样本均值与样本方差的 10.4.3控制变量 .389 联合分布 ·309 小结 389 7.9期望的一般定义 *310 习骏*· .300 小结. .311 自检习题 .392 习邀 .314 索引. ·393 理论习题 323 自检习题 4330
第1章组合分析 1.1引言 首先，我们提出一个与概率论有关的有趣的经典问题：一个通信系统含个天 线，顺序地排成一排，只要没有两个连续的天线都失效，那么这个系统就可以接收到 信号，此时称这个通信系统是有效的.已经探明这n个天线里，恰好有m个天线是 失效的，问此通信系统仍然有效的概率是多大？举例来说，设n=4,m=2,通信系 统是否有效取决于这n个天线的设置方式（它们的排列次序）.这4个天线一共有 6种可能的设置方式 0110 1010 1001 010100111100 其中，1表示天线有效，0表示天线失效.可以看出前3种情况整个通信系统仍然有 效，而后3种情况系统将失效，因此，若天线的设置方式是随机排列的，所求的概率 应该是。=)，对于一般的n和m来说，用类似上述方法可以计算出所求概率.也 即，先计算使得系统仍有效的设置方式有多少种，再计算总共有多少种设置方式，两 者相除即为所求概率 从上所述可看出，一个有效地计算事件发生结果数目的方法是非常有用的.事 实上，概率论里的很多问题只要通过计算一个事件发生结果的数目就能得以解决， 关于计数的数学理论通常称为组合分析(combinatorial analysis)). 1 1.2计数基本法则 对我们的整个讨论来说，以下关于计数的法则是基本的.粗浅地说，若一个试 验有m个可能结果，而另一个试验又有n个可能结果，则两个试验一共有mn个 结果 计数基本法则 有两个试验，其中试验1有m种可能发生的结果，对应于试验1的每一个 结果，试验2有n种可能发生的结果，则对这两个试验来说，一共有mm种 可能结果 基本法则的证明通过列举两个试验所有可能的结果来证明这个问题，结果
2第1章组合分析 如下： (1,1)(1,2).(1,n) (2,1)(2,2）.(2,n) (m,1)(m,2).(m,n) 其中，（亿，）表示第一个试验结果是第i种、第二个试验结果是第j种因此，所有可 能结果组成一个矩阵，共有m行n列，结果的总数为m×n,这样就完成了证明. 例2a一个小团体由10位妇女组成，每位妇女又有3个孩子.现在要从其中 选取一位妇女和她的一个孩子评为“年度母亲和年度儿童”，问一共有多少种可能 的选取方式？ 解：将选择妇女看成第一个试验，而接下来选择这位母亲的一个孩子看作第二 个试验，那么根据计数基本法则可知，一共有10×3=30种选择方式. 当有2个以上的试验时，基本法则可以推广如下： 推广计数法则 一共有”个试验.第一个试验有1种可能结果；对应于第一个试验的每 一种试验结果，第二个试验有2种可能结果；对应于头两个试验的每一种 2 试验结果，第三个试验有3种可能结果；等等.那么，这r个试验一共有 n1·2.nr种可能结果. 例2b一个大学计划委员会由3名新生、4名二年级学生、5名三年级学生、2 名毕业班学生组成，现在要从中选4个人组成一个分委员会，要求来自不同的年级， 一共有多少种选择方式？ 解：可以把它理解为从每个年级选取一个代表，从而有4个试验，根据推广计 数法则，一共有3×4×5×2=120种可能的选择结果 例2车牌号是7位的，如果要求前3个位置必须是字母，后4个必须是数字， 一共有多少种编排车牌号的方式？ 解：根据推广计数法则，可知道答案为：26×26×26×10×10×10×10= 175760000. 例2对于只定义在n个点上的函数，如果函数取值只能为0或1，这样的函 数有多少？ 解：设这n个点为1,2，·，n,既然对每个点来说，∫()的取值只能为0或者1， 那么一共有2”个这样的函数. 例2在例2c中，如果不允许字母或数字重复，一共有多少种可能的车牌号？ 解：这种情况下，一共有26×25×24×10×9×8×7=78624000种可能的车 牌号
1.3排列3 1.3排列 按随意顺序来排列字母a,b,c,一共有多少种排列方式？通过直接列举，可知 共有6种：abc,acb,bac,bca,cab以及cba.每一种都可以称为一个排列(permutation). 因此，3个元素一共有6种可能排列方式.这个结果能通过计数基本法则得到：在 排列中第一个位置可供选择的元素有3个，第二个位置可供选择的元素是剩下的两3 个之一，第三个位置只能选择剩下的1个元素，因此一共有3×2×1=6种可能的排列. 假设有n个元素，那么用上述类似的方法，可知一共有n(n-1)(n-2).321= n!种不同的排列方式。 例3一个垒球队一共有9名队员，问一共有多少种击球顺序？ 解：一共有9！=362880种可能的击球顺序. 例3b某概率论班共有6名男生、4名女生，有次测验是根据他们的表现来排 名次，假设没有两个学生成绩一样. (a)一共有多少种排名次的方式？ (b)如限定男生、女生分开排名次，一共有多少种排名次的方式？ 解： (a)每种排名方法都对应着一个10人的排列方式，故答案是：10！=3628800 (b)男生一起排名次有6！种可能，女生一起排名次有4！种，根据计数基本法 则，一共有6！×4！=720×24=17280种可能结果. ■ 例3c把10本书放到书架上，其中有4本数学书、3本化学书、2本历史书和 1本语文书.现在要求相同类别的书必须紧挨着放，问一共有多少种放法？ 解：如果数学书放在最前面，接下来放化学书，再下来放历史书，最后放语文 书，那么一共有4！3！2！1！种排列方式.而这4种书的顺序一共又是4！种，因此， 求答案是4！413！211！=6912. ◆ 接下来讨论如果有n个元茶，其中有些是不可区分的，这种排列数如何计算？ 看下面的例子 4口 例3d用PEPPER的6个字母进行排列，一共有几种不同的排列方式？ 解：如果3个字母P和2个字母E都是可以区分的（标上号），也即P1EP2P3E2R 一共有6！种排列方式.然而，考察其中任一个排列，比如P1P2E1P3E2R,如果分别将 3个字母P和2个字母E重排，那么得到的结果仍然是PPEPER,也就是说，总共有 3!2!种排列 P1P2E1P3E2R PiP2E2P3EiR PiP3E:P2E2R P1P3E2P2ER P2P1EP3E2R P2P1E2P3ER P2P3EPiE2R P2P3E2P1ER P3P1E1P2E2R P3P1E2P2E1R P3P2EP1E2R P3P2E2PER 这些排列都是同一种形式：PPEPER.因此一共有6！/(3！2！)=60种不同的排列方
4第1章组合分析 式 一般来说，利用上述同样的方法可知：n个元素，如果其中1个元素彼此相同， 另个彼此相同，个也彼此相同，那么一共有n1n2,种排列方式 例3一个棋类比赛一共有10个选手，其中4个来自俄罗斯，3个来自美国 2个来自英国，另1个来自巴西.如果比赛结果只记录选手的国籍，那么一共有多少 种可能结果？ 101 解：一共有。 =12600种可能结果 ■ 312 例3f有9面小旗排列在一条直线上，其中4面白色、3面红色和2面蓝色， 颜色相同的旗是一样的.如果不同的排列方式代表不同的信号，那么一共有多少种 可能的信号？ 5 9! 解：一共有4312=1260种不同的信号 ■ 1.4组合 从个元素当中取r个，一共有多少种取法？这也是一个有趣的问题.比如，从 A,B,C,D和E这5个元素中选取3个组成一组，一共有多少种取法？解答如下：取 第一个有5种取法，取第2个有4种取法，取第三个有3种取法，所以，如果考虑选 择顺序的话，那么一共有5×4×3种取法.但是，每一个包含3个元素的组（比如包 含A,B,C的组)都被计算了6次，（也即，如果考虑顺序的话，所有的排列ABC,ACB, BAC,BCA,CAB,CBA都被算了一次)所以，组成方法数为： 5×4×3 3x2xi=10 一般来说，如果考虑顺序的话，从n个元素中选择r个组成一组一共有n(n- 1).(n-r+1)种方式，而每个含r个元素的小组都被重复计算了共r!次.所以， 能组成不同的组的数目为： 2(-1)D r! 记号与术语 对r≤n我们定义(）如下： n! 并且说(C)表示了从n个元素中一次取r个的可能组合数.1 1.为了方便，0！被定义为1，因此(0)=(=1.当i<0或者>n时，有时也认为（等于0