85初等因子
一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 三、初等因子的求法
、初等因子的定义 把矩阵A∈C"的每个次数大于零的不变因子 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,所有这些 一次因式的方幂(相同的必须按出现的次数计算) 称为A的初等因子
一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 把矩阵 A C n n 的每个次数大于零的不变因子 称为A的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一、初等因子的定义
例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 1,(-1)2(-1)2(+1),(x-1)2(4+1)(x2+1)2 则A的初等因子有7个,它们是 (孔-1)2,(孔-1)2,(-1)2,(元+1),(+1) (+i)2,(-i)
2 2 2 2 2 1,1, ,1, ( 1), ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)( 1) − − + − + + 9个 则A的初等因子有7个，它们是 222 ( 1) , ( 1) , ( 1) , ( 1), ( 1), − − − + + 例1、若12级复矩阵A的不变因子是: 2 2 ( ) , ( ) + − i i
二、初等因子与不变因子的关系 分析:①设n级矩阵A的不变因子为已知: d1(x),d2(x),…,dn(x) 将l(x)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式 的方幂的乘积: d1(x)=(λ-1)(-42)2…(λ-4,)v d2(x)=(4-41(4-42)2…(-4,), n(x)=(2-1)"(2-2)2…(-)m
① 设n级矩阵A的不变因子为已知： 1 2 ( ), ( ), , ( ) n d x d x d x 将 d x i n i ( ) ( 1,2, , ) = 分解成互不相同的一次因式 二、初等因子与不变因子的关系 的方幂的乘积: 11 12 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − − 21 22 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , r k k k r d x = − − − 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . n n nr k k k n r d x = − − − 分析:
则其中对应于k≥1的那些方幂 (-,)"(k;≥1) 就是A的全部初等因子 ②注意到不变因子d1(x),d2(x),…,dn(x)满足 d1(x)|d+1(x),i=1,2,…,n-1 从而有 (-1)"|(x i+1,j i=1,2,…,n-1,j=1,2, 因此有,k≤k≤…≤k,j=1,2,…
则其中对应于 1 的那些方幂 : i j k ( ) ( 1) i j k j i j − k 就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d x d x d x 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 满足 1 ( ) | ( ), 1,2, , 1 i i d x d x i n + = − 从而有 1 , ( ) | ( ) , 1,2, , 1, 1,2, i j i j k k j j i n j r + − − = − = 因此有, 1 2 , 1,2, , j j nj k k k j r =