2.(引理2)设g(x)是矩阵A的最小多项式,则 ∫(x)以A为根兮(x)f(x) 证:充分性显然,只证必要性 由带余除法,∫(x)可表成 f(=g(xg()+r(x), 其中r(x)=0或O(r(x)<(g(x) 于是有f(4)=q(4)g(4)+r(A)=0 0 §9最小多项式
§9 最小多项式 2.（引理2）设 g x( ) 是矩阵A的最小多项式，则 f x( ) 以A为根 g x f x ( ) ( ). 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， f x( ) 可表成 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 其中 r x( ) 0 = 或 ( ( )) ( ( )). r x g x 于是有 f A q A g A r A ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = + = = r A( ) 0
由最小多项式的定义,r(x)=0. g(x)If(x) 由此可知: 若g(x是A的最小多项式,则g(x)整除任何 个以A为根的多项式,从而整除A的特征多项式即 3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子. §9最小多项式
§9 最小多项式 由最小多项式的定义， r x( ) 0. = g x f x ( ) ( ). 由此可知： 若 g x( ) 是A的最小多项式，则 g x( ) 整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子