北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.2）线性变换的运算

2线性变换的运算 线性变换的乘积 线性变换的和 线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式

1 一、 线性变换的乘积 二、 线性变换的和 三、 线性变换的数量乘法 四、 线性变换的逆 五、 线性变换的多项式

线性变换的乘积 1.定义 设σ,为线性空间V的两个线性变换,定义它们 的乘积o为:(ax)(a)=o((a),vae 则σv也是V的线性变换 事实上,(σ)(a+β)=o(τ(a+B)=o(r(a)+(B) =G(z(a))+G((6)=(o)(a)+(o)(6), (a7)(ka)=o((ka)=a(k(a)=ka(z(a)=k(o)(a)

2 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))             + = + = + 一、 线性变换的乘积 的乘积  为： (      )( ) =   ( ( )), V 则  也是V的线性变换. = + = +           ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k ====

2.基本性质 (1)满足结合律:(a)6=0(o) (2)E=aE=σ,E为单位变换 (3)交换律一般不成立,即一般地, o≠To

3 ２．基本性质 （1）满足结合律： (    ) = ( ) （2） E E    = = ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

例1.线性空间R[x中,线性变换 D((x)=f(x) (f(x)=。f() (D)(()=((n)-(),.即p=E 而 (D)((x)=(f(x)=「nf()m=f(x)-f() ∴DJ≠JD

4 例1. 线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x ( ( )) = ( ) ( )( ( )) ( ( ) ) ( ) 0 , x DJ f x D f t dt f x = =  ( )( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f = = = −    而，   DJ JD. ( ( )) ( ) 0 x J f x f t dt =  即 DJ E =

例2.设A、B∈P"为两个取定的矩阵,定义变换 O(X=AX, VX∈Pn T(X=XB, 则a,皆为P的线性变换,且对ⅤX∈P",有 (oT)(X=O(T(X)=O(XB=A(XB)=AXB (to(X=t(O(X=T(AX=(AXB=AXB. ∴Oz=To

5 ( ) , X AX = 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n 的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB = = = = ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB = = = =  ( ) , X XB = n n X P     =  