北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.6）若当标准形的理论推导

86若当标准形的理论推导

一、若当块的初等因子 二、若当形矩阵的初等因子 三、若当标准形存在定理

、若当块的初等因子 00 x…00 若当块J 0…x0 00 1o nXn 的初等因子是(-4)

若当块 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n J          =         的初等因子是 ( 0 ) . n   − 一、若当块的初等因子

证: 0 E-J0= λ1.00 0 13-x nXn AE-J=(-4)" 此即况E-J的级行列式因子 又花E-J有一个n-1级子式是

证： 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 n n E J             −   − − − =     −   − −   0 0 ( ) . n    E J − = − 此即 的 级行列式因子. E J − 0 n 又 E J − 0 有一个 n − 1 级子式是

1几 00 00 0.00 1…00 n- 12-40 所以AE一J的n-1级行列式因子为1 从而,九E-J0的n-2,…,2,1级行列式因子皆为1 的不变因子是: d1(x)=…=dn1(4)=1,an(4)=(-) 故J的初等因子是:(-A)

( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n     − − − − = − − − − 所以 的 级行列式因子为1. E J − 0 n − 1 从而， 的 级行列式因子皆为1. E J − 0 n − 2, ,2,1 0  J 的不变因子是: 1 1 0 ( ) ( ) 1, . ( ) ( ) n n n d d d      = = = = − − 故 的初等因子是: 0 J ( 0 ) . n   −

二、若当形矩阵的初等因子 若当形矩阵J 2 00 00 其中J= 00 0…x10 0 k: xk 则J的全部初等因子是: (A-41),(2-2),…,(4-4,)

若当形矩阵 1 2 , s J J J J     =       其中 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 i i i i i i i k k J          =         则J的全部初等因子是： 1 2 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) .s k k k       − − − s 二、若当形矩阵的初等因子