§75对角矩阵 、可对角化的念 二、几个引 三、可对角化的条件 封角化的一般方法
1 §7.5 对角矩阵 一、可对角化的概念 二、几个引理 四、对角化的一般方法 三、可对角化的条件
可对角化的概念 定义1:设是唯线性空间V的一个线性变换, 如果存在V的一个基,使在这组基下的矩阵为对 角矩阵,则称线性变换∞何可对角化 定义2:矩阵A是数域P上的一个方阵.如果 存在一个P上的圾可逆矩阵X使X角 矩阵,则称矩阵A可对角化
2 定义1：设 A 是 n 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使 A 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 A 可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果 存在一个 P 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 1 X AX − n X 一、可对角化的概念
二、几个引理 1.设w∈L(V,A是s的特征值,则 dimV≤x0的重数 即几何重数不超过代数重数.<证明 2(Th8)设为线性空间V的一个线性变换 如果5152,分刹是的属于互不相同的特征值 1,12,…k的特征向量,则51,52,性无关
3 即几何重数不超过代数重数. 证明. 二、几个引理 1. 设 A A L V( ), 是 的特征值, 则 dimV 0 的重数 2.(Th.8)设 A 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果 1 2 , , 分别是 k 的属于互不相同的特征值 A 1 2 的特征向量，则 线性无关. , , k 1 2 , , k 证明
二、几个引理 3.(Th9)设为线性空间V的一个线性变换 1,2,是的不同特征值,而5属形 特征值λ的线性无关的特征向量,i=1,2,…,k, 则向量51,…,5ln,,5线性无关 证明
4 证明. 二、几个引理 特征值 i 的线性无关的特征向量， i k = 1,2, , , 则向量 线性无关. 1 11 1 1 , , , , , , k r k kr 3.(Th.9) 设 A 为线性空间V的一个线性变换， 1 2 , , 是 k 的不同特征值，而 1 2 , , 是属于 i i i ir A
、可对角化的条件 1(Th7)设为维线性空间V的一个线性变换 则可对角化分有个线性无关的特征向量 证明 2(Cor1)设的维线性空间V的一个线性变换, 若在域卿有个不同的特征值则可对角化 证明
5 若 A 在域 中有 P 个不同的特征值 n .则 可对角化 A 2.(Cor.1)设 A 为 维线性空间 n V的一个线性变换， 则 A 可对角化 有 A 个线性无关的特征向量 n . 三、可对角化的条件 1.(Th.7)设 A 为 维线性空间 n V的一个线性变换， 证明. 证明