§4矩阵相似的条件
定理： 数字矩阵 A B E A E B , 相似 − − 与 等价
引理1: 设P为数域A,B∈P,若有P,Q∈P", 使E-A=P(E-B)Q① 则A与B相似 证:由P(AE-B)Q=PEQ0-PBQ =P0Q0-PB0=九E-A 得PQ=E,BBQ=A 即P=Q0,A=QBQ0 A与B相似
设P为数域 A B P , , n n 若有 0 0 , ， n n P Q P 则A与B相似. 证：由 ( ) P E B Q 0 0 − = − P Q P BQ 0 0 0 0 = − E A 得 0 0 0 0 P Q E P BQ A = = , 即 1 0 0 P Q , − = 引理1： ( ) 使 E A P E B Q − = − 0 0 ① ∴ A与B相似. 1 0 0 A Q BQ . − = = − P EQ P BQ 0 0 0 0
引理2: 对任意A∈Pm及任意-矩阵U(λ),V(x), 定存在礼-矩阵Q(λ),R()及U,V∈Pm, 使U(4)=(E-A)Q(4)+U0② ()=R(4)(xE-A)+V③
对任意 A P n n 及任意 -矩阵 U V ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) 使 U E A Q U = − + 0 ② ( ) ( )( ) V R E A V = − + 0 ③ 一定存在 -矩阵 Q R ( ), ( ) 及 0 0 , , n n U V P 引理2：
证:设U(2)=D"+Dm1+…+Dm1+Dn 这里Da,D1,…,Dm∈P"",且D≠0. i)若m=0,则令Q(4)=0,U0=D i)若m>0,设 Q(4)=Q4m1+g4m2+…+gn22+Qn1, 这里Q2∈P"为待定矩阵.于是 (E-A)Q(4)=Qm+(2-4Q)m1+… +(Qk-4Qk-) 十· AO m-2 元-AO
证： 这里 0 1 , , , , 且 n n D D D P m 0 D 0. ( ) 1 0 1 1 , m m U D D D D m m − 设 = + + + + − i) 若 m = 0, 则令 ( ) 0 0 Q U D = = 0, . ii）若 m 0, 设 1 2 0 1 2 1 ( ) , m m Q Q Q Q Q m m − − = + + + + − − 这里 为待定矩阵. n n Q P i 于是 ( ) 1 0 1 0 m m Q Q AQ − = + − + ( 1 1 2 1 ) ( ) m k Q AQ Q AQ AQ k k m m m − + − + + − − − − − − ( E A Q − ) ( )
要使①式成立,只需取 C0=D0 O= D 2-A@ L=D+ a2 Q-A91=Dk即{Qk=Dk+AQ k-1 Om-i-aom-,=D 2m-=Dm_t aem_ aem-1+Uo=D U=D+AO 即可 同理可证②
要使①式成立，只需取 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 k k k m m m m m Q D Q AQ D Q AQ D Q AQ D AQ U D − − − − − = − = − = − = − + = 即 0 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ − − − − − = = + = + = + = + 即可. 同理可证②