北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.6）线性变换的值域与核

§6线性变换的值域与核 值域与核的概念 二、值域与核的有关性质

1 一、 值域与核的概念 二、 值域与核的有关性质

、值域与核的概念 定义1:设G是线性空间V的一个线性变换, 集合(V)={o(a)|a∈吟 称为线性变换σ的值域,也记作Imo,或V 集合a(0)={a|a∈V,o(a)=0 称为线性变换σ的核,也记作kero 注:σ(W),a(0皆为Ⅴ的子空间

2 一、值域与核的概念 定义1：设  是线性空间V的一个线性变换， 集合     ( ) ( ) | V V =    称为线性变换  的值域，也记作 Im , .   或 V 集合   1      (0) | , ( ) 0 V − =  = 称为线性变换  的核，也记作 ker .  注： 皆为V的子空间. 1   ( ), (0) V −

事实上,()cV,(V)≠⑧,且对 Vo(a),G()∈c(),Vk∈P 有(a)+o(6)=a(a+B)∈G( ko(a)=o(ka)∈o() 即σ()对于V的加法与数量乘法封闭 ()为V的子空间 再看σ(0).首先,a(0)V,o(0)=0

3 事实上，   ( ) , ( ) , V V V    且对          ( ), ( ) ( ), V k P 有         ( ) ( ) ( ) ( ) + = +  V k k V      ( ) ( ) ( ) =  即  ( ) V 对于V的加法与数量乘法封闭.  ( ) V 为V的子空间. 再看 1  (0). − 1   (0) , (0) 0, V − 首先，  =

0∈a-1(0),σ-(0)≠Q 又对∨a,B∈σ-(0,有G(a)=0,G(B)=0从而 σ(a+B)=(a)+()=0 o(ka =ko(a=k0=0, VkEP 即a+B∈a-(0),ka∈a(0) -(0)对于V的加法与数量乘法封闭 故a-(0)为ⅴ的子空间

4 又对 有 从而 1    , (0), −       ( ) 0, ( ) 0 = =        ( ) ( ) ( ) 0. + = + =     ( ) ( ) 0 0, k k k k P = = =   即 1 1      (0), (0), k − − +   故 为V的子空间. 1  (0) − 1 1 0 (0), (0) .   − −     1  (0) −  对于V的加法与数量乘法封闭

定义2:线性变换a的值域a()的维数称为的秩 a的核(0)的维数称为o的零度 例1、在线性空间Pxln中,令 D(f(x))=f(x) 则D(Pxl)=Pxl D(0)=P 所以D的秩为n-1,D的零度为1

5 定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1. D( f (x)) = f '(x)