83不变因子
一、 行列式因子 二、 不变因子
、行列式因子 1.定义: 设孔一矩阵A()的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r, A(x)中必有非零的k级子式,A(1)中全部k级子式 的首项系数为1的最大公因式D(),称为A()的 k阶行列式因子 注: 若秩((x)=r,则A(4)有r个行列式因子
1. 定义： 一、行列式因子 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ), 称为 A( ) 的 A( ) 中必有非零的 k 级子式， A( ) 中全部 k 级子式 设 －矩阵 A( ) 的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 , k r 若 秩 ( A r ( ) ) = ，则 A( ) 有 r 个行列式因子
2.有关结论 1)(定理3)等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子 (即初等变换不改变孔一矩阵的秩与行列式因子) 证:只需证,元一矩阵经过一次初等变换,秩与行 列式因子是不变的 设A()经过一次初等变换变成B(),∫()与 g(1)分别是A(4)与B(4)的k级行列式因子 下证∫=g,分三种情形:
行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( ) 经过一次初等变换变成 B( ) ， f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k级行列式因子． 下证 f g = ，分三种情形：
①A(4)→B().此时B(4)的每个k级子式或 者等于A()的某个k级子式,或者与A()的某个 k级子式反号.因此,∫()是B(4)的k级子式的 公因式,从而f(4)g(4) ②A(4)→B(4).此时B(4)的每个k级子式或 者等于A()的某个k级子式,或者等于4(4)的某个 k级子式的c倍.因此,∫(孔)是B(4)的k级子式的 公因式,从而f()g()
k 级子式反号. 公因式， 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者与 A( ) 的某个 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 , ( ) ( ). i j ① A B ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). i c A B ② ⎯⎯⎯→ k 级子式的c倍. 者等于 A( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A( ) 的某个 此时 B( ) 的每个 k 级子式或 因此， f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的 公因式， 从而 f g ( ) ( ).
间4(1)(→B(x).此时B(A)中包含两行 的和不包含j行的那些k级子式与A(1)中对应的k 级子式相等;B()中包含i行但不包含j行的k级 子式,按i行分成A()的一个k级子式与另一个k 级子式的土(1)倍的和,即为A()的两个k级子式 的组合,因此∫(4)是B(孔)的k级子式的公因式, 从而f(x)g() 同理可得,g()f() f∫()=g(几)
此时 B( ) 中包含 i j , 两行 级子式相等； ( ) ( ) ( ). i j A B + ③ ⎯⎯⎯⎯→ 的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( ) 中对应的 k B( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A( ) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ( ) 倍的和，即为 A( ) 的两个 k 级子式 从而 f g ( ) ( ). 的组合， 因此 f ( ) 是 B( ) 的 k 级子式的公因式， 同理可得， g f ( ) ( ). = f g ( ) ( ).