北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.3）线性变换的矩阵

§3线性变换的矩阵 线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵

1 一、 线性变换与基 二、 线性变换与矩阵 三、 相似矩阵

线性变换与基 1。设61,62;…,E是线性空间V的一组基,σ为V 的线性变换.则对任意5∈W存在唯一的一组数 x1,x2,…,xn∈P,使5=x十x22+…十x,En 从而,σ()=x1G(61)+xO(62)+…+xn(En 由此知,(2)由σ(61)(62)…(En)完全确定 所以要求V中任一向量在σ下的象,只需求出V的 组基在G下的象即可

2 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意  V 存在唯一的一组数 1．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  为V x x x P 1 2 , , , , n  使 1 1 2 2 n n     = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n         = + + + x x x 由此知，  ( ) 由       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在  下的象即可. 所以要求V中任一向量在  下的象，只需求出V的

2.设E1,E2,…,En是线性空间v的一组基,O,T为 V的线性变换,若σ(G;)=(E;),i=1,2,…,n 则G= 证:对v5∈V,5=x151+x2E2+…+x,6, a(5)=x() 十xO(E,)+…+x z(4)=x2(a)+x2c(a2)+…xr(an) 由已知,即得G(4)=(5) 由此知,一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定

3 2．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，  , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i     = =i n 则   = .         ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( )         ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 由已知，即得     ( )＝ ( ).  =   . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 1 1 2 2 , V x x xn n   = + + +     

3.设出1,E2,…,En是线性空间v的一组基,对V中 任意n个向量a1,a2 都存在线性变换σ使 = n 证:V5∈V,设5=x1E1+x262+…+xnEn 定义a:→V,a(5)=x1a1+x2a2+…+xna 易知σ为V的一个变换,下证它是线性的 任取B,y∈V,设B∑b,y=∑

4 ( ) , 1,2, , i i   = =i n 证： 1 1 2 2 , V x x xn n   = + + +      设 定义  : , V V → ( ) 1 1 2 2 n n      ＝x x x + + + ， 1 2 , , , , 任意n个向量   n 都存在线性变换  使 3．设    1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中 易知  为V的一个变换，下证它是线性的. 1 1 , n n i i i i i i       V b c = = 任取 ，  = , = 设  

则+y=∑(b+c)G,kB=∑kb) 于是G(升+y)=∑b+ca=∑b+∑ca i=1 o(B)+o(r a(k)=∑ b)a=k∑ba1=ko(B) i=1 i=1 σ为V的线性变换 又6;=0E1+…+06;1+6;+0E++…+0En o8 n

5 则 1 1 , ) n n i i i i i i i      b c k b = = ＋ ＝  （ ＋ ） = (k 于是 ( ) 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i       b c b c = = = ＋ = = +    （ ＋ ） = +     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ) n n i i i i i i       k kb k b k = = = = =   (   为V的线性变换. 又 1 1 1 0 0 0 0 i i i i n       = + + + + + + − + ( ) , 1,2, , i i  = =    i n