《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第03章 多维随机变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量

概率论与敖理统计 第四节 相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结

一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结 第四节 相互独立的随机变量

概率轮与数理统外】 一、随机变量的相互独立性 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y       一、随机变量的相互独立性 1.定义

概率论与散理统计 2.说明 ()若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=i,Y=j}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 台→PX=x,Y=y}=P{X=x}PY=y, 即pg=P。·Pj

 { , } { } { }, i j i j P X  x Y  y  P X  x P Y  y X 和Y 相互独立 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 { , } , , 1,2, . P X i Y j p i j     ij . pij pi p j 即  

概率论与数理统外「 (2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有 X和Y相互独立→f(x,y)=fx(x)f(y): (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立

 f (x, y) f (x) f ( y).  X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则 有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y)也相互独立

例1已知(X,Y)的分布律为 概率论与敖理统外 X 0 P(Y=j) 1 2 1 1 6 6 1 2 1 2 6 6 2 P{X=} 1 2 3 1 111 则有：PX=0,了=1=6- 一X一 32 =P{X=0}P{Y=1} 111 PX=0,Y=2=6=32 =一X二 =P{X=0}P{Y=2}

X Y 1 2 6 1 2 6 1 6 P Y j { }  1 2 0 1 2 6 1 2 P X i { }  1 3 2 3 1 例1 已知(X,Y)的分布律为 则有： P X Y { 0, 1}   1 6  1 1 3 2      P X P Y { 0} { 1} P X Y { 0, 2}   1 6  1 1 3 2      P X P Y { 0} { 2}