概率论与敖理统计 第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的 概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结
一、协方差与相关系数的 概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数
概率论与数理统外 一、协方差与相关系数的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X±Y)=? D(X±Y)=E(X±Y)2-[E(X±Y)I2 =D(X)+D(Y)EX-E(X)Y-E(Y)) 协方差
1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X Y) D(X) D(Y). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D X Y ( ) ? 2 2 D X Y E X Y E X Y ( ) ( ) [ ( )] D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差
概率论与敖理统计 2.定义 量EIX-E(X)IY-E(Y)奶称为随机变量 X与Y的协方差记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) 而 Cov(X,Y) Pxy= DX)·√D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数
Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y 与 的协方差 记 为 即 量 称为随机变量 2. 定义 . ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 与 的相关系数 而 X Y D X D Y X Y ρXY
概率论与数理统外「 3.说明 (1)X和Y的相关系数又称为标准锄方差，它是一 个无量纲的量 (2)若随机变量X和Y相互独立 Cov(X,Y)=EX-E(JY-E(Y) =EIX-E(X)JE[Y-E(Y)] =0. (3)若随机变量X和Y相互独立 →D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E{X-E(X)[Y-E(Y)} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)
Cov(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} E[X E(X)]E[Y E(Y)] 0. (3) 若随机变量 X 和Y 相互独立 ( ) ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]} D X Y D X D Y E X E X Y E Y D(X) D(Y). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 D X D Y X Y ( ) ( ) 2Cov( , ) 3. 说明 . (1) , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一
概率论与敖理统外 4.协方差的计算公式 (1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y); (2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y). 证明(I)Cov(X,Y)=E{X-E(X)Y-E(Y)} =EXY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)] =E(XY)-2E(X)E(Y+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y); (2) ( ) ( ) ( ) 2Cov( , ). D X Y D X D Y X Y 证明 (1)Cov(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} E[XY YE(X) XE(Y) E(X)E(Y)] E(XY) E(X)E(Y). E(XY) 2E(X)E(Y) E(X)E(Y)