概率论与散理统计 第四节矩、协方差矩阵 一、基本概念 二、n维正态变量的性质 三、小结
一、基本概念 二、n 维正态变量的性质 三、小结 第四节 矩、协方差矩阵
概率论与散理统外「 一、基本概念 1.定义 设X和Y是随机变量，若E(X),k=1,2,. 存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩 若E{X-E(X)},k=2,3,. 存在，称它为X的k阶中心矩 若E(XY),k,1=1,2, 存在，称它为X和Y的k+1阶混合矩， EX-E(X)Y-E(Y),k,1=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+1阶混合中心矩
, ( ), 1,2, , , . k X Y E X k X k k 设 和 是随机变量 若 存在 称它为 的 阶原点矩 简称 阶矩 {[ ( )] }, 2,3, , . k E X E X k X k 若 存在 称它为 的 阶中心矩 ( ), , 1,2, , . k l E X Y k l X Y k l 若 存在 称它为 和 的 阶混合矩 一、基本概念 1.定义 {[ ( )] [ ( )] }, , 1,2, , . k l E X E X Y E Y k l X Y k l 若 存在 称它为 和 的 阶混合中心矩
概率论与散理统计 2.说明 ()以上数字特征都是随机变量函数的数学期望 (2)随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原 点矩，方差为二阶中心矩协方差CoV(X,Y)是X 与Y的二阶混合中心矩 (3)在实际应用中，高于4阶的矩很少使用 三阶中心矩E{X-E(X)3主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩E{X-E(X))主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何
2. 说明 ; , , Cov( , ) (2) ( ) 与 的二阶混合中心矩 点 矩 方差为二阶中心矩 协方差 是 随机变量 的数学期望 是 的一阶原 Y X Y X X E X X (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望; (3) 在实际应用中,高于4阶的矩很少使用. . {[ ( )] } 3 机变量的分布是否有偏 三阶中心矩E X E X 主要用来衡量随 . {[ ( )] } 4 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何 四阶中心矩 E X E X 主要用来衡量随
概率论与数理统外 3.协方差矩阵 设n维随机变量(X,X2,.,Xn)的二阶混合 中心矩 Ci Cov(Xi,X)=EIX;-E(X;)IX;-E(X;)] i,j=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 Cu C12 C= C2 C22 C2n Cn2 n 为n维随机变量的协方差矩阵
3. 协方差矩阵 1 2 ( , , , ) 设 n X X X 维随机变量 n 的二阶混合 中心矩 Cov( , ) {[ ( )][ ( )] , 1,2, , , ij i j i i j j c X X E X E X X E X i j n 都存在 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c 为 n 维随机变量的协方差矩阵
概率论与赦理统计 例如二维随机变量(X1,X2)的协方差矩阵为 c- 其中C1=E{X1-E(X2}, C2=E{X1-E(X1)X2-E(X2), C21=EX2-E(X2)[X1-E(X1}, C22=EX2-E(X2)}
例如 二维随机变量(X1 ,X2 )的协方差矩阵为 21 22 11 12 c c c c C {[ ( )] }, 2 11 E X1 E X1 其中 c {[ ( )][ ( )]}, 12 E X1 E X1 X2 E X2 c {[ ( )][ ( )]}, 21 E X2 E X2 X1 E X1 c {[ ( )] }. 2 22 E X2 E X2 c