必须指出，(1.5)中的M应是便于求逆的，M 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当A的 对角线元素全不为零时，就把M选为A的对角 线，于是 A=D-E 其中D是具有A的对角线元素的对角阵，而 E在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6成为 X=DEX+Db 式中，D是简单的对角阵，它的对角线元 素是D的元素的倒数
必须指出，(1.5)中的 应是便于求逆的， 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 的 对角线元素全不为零时，就把 选为 的对角 线，于是 M M A A M A D E = −1 1 X D EX D b − − = + 其中 是具有 的对角线元素的对角阵，而 在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为 D A E 式中， 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 的元素的倒数。 1 D − D
例1、将方程组： 20x1+2x2+3x3=24, AX=b: x+8x2+x3=12 2x1-3x2+15x3=30 化成便于迭代的形式X=BX+F 最直观的方法是，将方程组改写为： 2 3 24 x=0x1- X一 20 x3+ 3 20 20 0 10 20 1 12 X X2= 1+0x2 d 1 1 → 0 8 8 5-43-22 3 30 X3=一 X,十 x2+0x3 X: 15 15 15 25
例1、将方程组： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 20 2 3 24, 8 12, 2 3 15 30 x x x x x x x x x + + = + + = − + = AX b = : 化成便于迭代的形式 X BX F = + . 最直观的方法是，将方程组改写为： 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 24 0 , 20 20 20 1 1 12 0 , 8 8 8 2 3 30 0 15 15 15 x x x x x x x x x x x x = − − + = − + − + = − + + + 1 1 2 2 3 3 1 3 5 0 10 20 4 1 1 3 0 8 8 2 2 1 2 0 15 5 x x x x x x − − = − − + −
三、Jacobi迭代法的收敛性 若由迭代格式 X(k+D)=BX(k)+Fk=0,1.., (1.2 所构成的向量序列{X}收敛，则称迭代格式 (1.2)收敛，或称Jacobi迭代法收敛。 由关系式： (X(k+)=BX(k)+F, X'=BX'+F 可得 X+)-X=B(X)-X) =B2(X-)-X =Bk+(X0-X)
三 、 Jacobi 迭代法的收敛性 若由迭代格式 所构成的向量序列 收敛，则称迭代格式 (1.2)收敛，或称 迭代法收敛。 ( ) k X Jacobi ( 1) ( ) , 0,1 , k k X BX F k + = + = (1.2) 由关系式： ( 1) ( ) * * , k k X BX F X BX F + = + = + 可得 ( 1) * ( ) 2 ( 1) * ( 1) (0) * ( ) ( ) ( ) k k k k X X B X X B X X B X X + − + − = − = − = −