第三节SOR迭代法 SOR迭代格式 二SOR迭代法的收敛性
第三节 SOR 迭代法 一、 SOR 迭代格式 二 SOR 迭代法的收敛性
SOR 迭代格式 SOR是Succesive Over Re laxation (逐次超松弛) 的缩写。SOR迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的有效 方法之一。它可以看作是Gass-Seidel迭代法的加 速，Gauss--Seidel迭代法是SOR迭代的一种特殊形式
一、 SOR 迭代格式 SOR 是 ( 逐次超松弛 ) 的缩写。 SOR 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的有效 方法之一。它可以看作是 Gauss Seidel − 迭 代 法 的加 迭代法是 迭代的一种特殊形式。 Succesive Over R laxation e 速， Gauss Seidel − SOR
将方程组AX=b写成 anx +ax2++a+ax+amxn =b, (i=1,2,…,n) 则有 →anx,=b-(ax1+a2x2+…+a-x -(ax4l++anxn） aux =ax;+(b-anx-ax2-.-a-xi- -anx-ai-ainxn) →x=x+6-8,-a--8X aixi-ai-ainxn) 其Gauss--Seidel迭代格式可写为(a,≠0)：
将方程组 AX b = 写成 1 1 2 2 , 1 1 , ( 1, 2, , ) i i i i i ii i in n i a x a x a x a x a x b i n + + + + + = − − = ( 0) 其 Gauss Seidel − 迭 代 格 式 可写为 aii ： 1 1 2 2 , 1 1 , 1 1 1 ( ) i i i i i i i i ii ii i i i i in n x x b a x a x a x a a x a x a x − − + + = + − − − − − − − − ( ) ( ) 1 1 2 2 , 1 1 , 1 1 1 1 2 2 , 1 1 , 1 1 ( ) ii i i i i i i i i i i in n ii i ii i i i i i i i ii i i i i in n a x b a x a x a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x a x − − + + − − + + = − + + + − + + = + − − − − − − − − 则有
x=x+(6-a (k+1 -a-ix-ax--anx） 0 (3.) 若记 9=6-a"-之》 i=1,2,…,n 则(3.1)式可写为 x+=x0 +二 (3.2) d
若记 1 ( ) ( 1) ( ) 1 ( ), i n k k k i i ij j ij j j j i r b a x a x − + = = = − − i n =1, 2, , ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1 , 1, 1 k k k k k k 1 i i i i i i i ii i in n ii x x b a x a x a x a x a + + + = + − − − − − − − − (3.1) 1 ( ) ( 1) ( ) 1 1 i n k k k i i ij j ij j j j i ii x b a x a x a − + = = = + − − 则 (3.1) 式可写为 ( 1) ( ) ( ) k k k 1 i i i ii x x r a + = + (3.2)
由此可以看出，Gauss--Seidel迭代法的第k+1 步，相当于在第k步的基础上每一个分量增加 一个修正量。”。现在，为了获得更快的收敛 效果，在修正项的前面乘以一个参数0，便得到 逐次超松弛迭代格式 x=x+0,i=1,2.,n (3.3)
由此可以看出， Gauss Seidel − 迭代法的第 k +1 1 ( ) k i ii r 一个修正量 a 。现在，为了获得更快的收敛 步 ，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加 效果，在修正项的前面乘以一个参数 ，便得到 逐次超松弛迭代格式 (3.3) ( 1) ( ) ( ) , 1,2, , k k k i i i ii x x r i n a + = + =