第三节 Runge-Kutta方法 一、R一K方法的基本思想 二、N级R一K公式 三、小结
第三节 Runge-Kutta方法 一、Ｒ－Ｋ方法的基本思想 二、Ｎ级Ｒ－Ｋ公式 三、小结
一、R一K方法的基本思想 3.1 首先，从微分中值定理及方程(1.1)得 x)=）=y'5)=f5,》 x<g<xn 这里f(飞，(5)称为方程(1.1)的积分曲线(x)在区间 [xm,x+上的平均斜率。由此可知，只要对此平均斜率提 供一种算法，就可以得到一个相应的计算公式。下面， 我们来观察Euler格式和改进的Euler格式，将它们分别 写成
3.1 一、Ｒ－Ｋ方法的基本思想 首先，从微分中值定理及方程（1.1）得 ( ) ( , ( )) ( ) ( ) 1 y f y h y x y x n n = = + − n n+1 x x 这里 称为方程（1.1）的积分曲线 在区间 上的平均斜率。由此可知，只要对此平均斜率提 供一种算法，就可以得到一个相应的计算公式。下面， 我们来观察Euler格式和改进的Euler格式，将它们分别 写成 f (, y()) y(x) [ , ] n n+1 x x
ym-yn=f(xny) 前一式是用Xn点处的斜率f(xn,yn)来代替上面所说的平均 斜率的，后一式是用X,,X+1两点上的斜率的平均值来代 替平均斜率的。我们已经知道，uler格式是1阶方法，而 改进的Euler格式是2阶方法。 由此看来，如果在区间[xm,x]内多预报几个点的斜率值，然 后将它们加权平均斜率，就可以构造出更高阶的计算公式来
[ ( , ) ( , )] 2 1 ( , ) 1 1 1 1 + + + + = + − = − n n n n n n n n n n f x y f x y h y y f x y h y y 前一式是用 点处的斜率 来代替上面所说的平均 斜率的，后一式是用 ， 两点上的斜率的平均值来代 替平均斜率的。我们已经知道，Euler格式是1阶方法，而 改进的Euler格式是2阶方法。 n x ( , ) n n f x y n x n+1 x 由此看来，如果在区间 内多预报几个点的斜率值，然 后将它们加权平均斜率，就可以构造出更高阶的计算公式来。 [ , ] n n+1 x x
二、N级R一K公式 Euler格式与改进的Euler格式可以改写成下面的形式 yn=yn +K K=hf(xnyn) y=+2K,+ K=hf(xn2y) K2=hf(xn+1>y+i） 显然，若在区间[xm,x+]内取N个不同的点，记积分曲 线y(x)在这N个点上的斜率分别为.K,K,,Kv于是可设 n+月=x,)+立C,K+0h) (3.1)
二、Ｎ级Ｒ－Ｋ公式 Euler格式与改进的Euler格式可以改写成下面的形式 = + = + ( , ) 1 n n n n K hf x y y y K = = = + + + + + ( , ) ( , ) 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 n n n n n n K hf x y K hf x y y y K K 显然，若在区间 内取 个不同的点，记积分曲 线 在这 个点上的斜率分别为， [ , ] n n+1 x x y(x) N K K KN , , , N 1 2 于是可设 ( ) ( ) ( ) 1 1 + + + = + + m N i n n i i y x h y x C K O h （3.1）
舍去误差项，便得到 +CK i+1 (3.2) K=hf(xnyn) K hf(xn +ahiyn+ biK,) i=2,3,…,W 这就是所谓的N级m阶的R一K公式。其中a,b,多是 待定系数，并且有a= ∑b,1=23,N (3.3 a,b,C,待定系数可用比较系数的方法求得
舍去误差项，便得到 = + + = = = + − = + + K hf x a h y b K i N K hf x y y y C K i j i n i i n i j j n n N i n n i i ( , ) 2,3, , ( , ) 1 1 1 1 1 （3.2） 这就是所谓的Ｎ级ｍ阶的Ｒ－Ｋ公式。其中 多是 待定系数，并且有 i ij i a ,b ,c − = = = 1 1 , 2,3, , i j ai bij i N （3.3） ai ,bij ,ci 待定系数可用比较系数的方法求得