第四节线性多步法 一、多步法的基本思想 二、线性多步法 三、小结
第四节 线性多步法 一、多步法的基本思想 二、线性多步法 三、小结
一、多步法的基本思想 前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用它 前面一步得到的信息%，设想，当通过单步法已经算 出 y,y-…yk如何能充分地利用这些信息，在计算 y时获得较高的精度，这就是多步法的基本思想
一、多步法的基本思想 前面介绍的几种方法都是单步法，即在计算时，仅用它 前面一步得到的信息 。设想，当通过单步法已经算 出 ，如何能充分地利用这些信息，在计算 时获得较高的精度，这就是多步法的基本思想。 n y n n n k y y y − − , , 1 n+1 y
二、线性多步法 假定仍讨论本章开始给出的二阶微分方程的初值 问题(1.1)、(1.2》 y'=f(x,) y(xo)=Yo 与其等价的积分方程是 xm)-x,)=fx,x》k (4.1) 前面我们曾使用梯形公式，计算(4.1)式右端的积分，而得 到了改进的Euler方法。其实，这也可以理解为是插值点xn和 xm+,的线性插值函数代替函数∫而得到的。由于通常插值多项 式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替∫， 来得到高精确的计算方法
假定仍讨论本章开始给出的一阶微分方程的初值 问题（1.1）、（1.2） = = 0 0 ( ) ( , ) y x y y f x y 与其等价的积分方程是 （4.1） + + − = 1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 n n x x n n y x y x f x y x dx 前面我们曾使用梯形公式，计算（4.1）式右端的积分，而得 到了改进的Euler方法。其实，这也可以理解为是插值点 和 的线性插值函数代替函数 而得到的。由于通常插值多项 式的次数越高越精确，所以使我们试图用高次插值多项式代替 ， 来得到高精确的计算方法。 n x n+1 x f f 二、线性多步法
今取xn-2,xm-,xn和xm+1为插值节点，这时的插值多项式为 P(x)= (x-xn(x-xn-1x-x2） f(y()) (xn41-Xnx1-X-(xn+-xn2 +-xx=-x-x-）j0xx》 (n-x+)(nx1)(Xn-xn-2) x-(x-x)(x-x-2) 十 ()(x)(2) fxx2》 +（-Xx-xx-x2) fxn-2,-2》 (n-2-)(Xn-2-x)n-2-X-) 用(x代替f(x,yx》,便得到(x)的近似值y+,即 y=x)+∫R(x)
今取 xn−2 , xn−1 , xn 和 xn+1 为插值节点，这时的插值多项式为 ( , ( )) ( )( )( ) ( )( )( ) ( , ( )) ( )( )( ) ( )( )( ) ( , ( )) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 − − − + − − − + − + − − + − − + + + + − + − − − − − − − − − + − − − − − − + − − − − − − = n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x y x x x x x x x x x x x x x f x y x x x x x x x x x x x x x f x y x x x x x x x x x x x x x P x ( , ( )) ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 1 − − − + − − − + − − − − − − − + n n n n n n n n n n n f x y x x x x x x x x x x x x x 用 P3 (x) 代替 f (x, y(x)) ，便得到 y(xn+1 ) 的近似值 yn+1 ，即 + + = + 1 ( ) ( ) 1 3 n n x x yn y xn P x dx
令x=xn+h,并注意到 Xm+lXn=Xn=Xn1-X-2=h 则得 y=,)+后/xu+1m+2d -(u-IYu+1u+2)diu +与xrxu-lu+2dh -言c-2x-月u-lu+1au =.)+249/ax》+19/,》 -5f(xn-1,y(xm-》+f(xm-2,xn-2)川 上式中右端的(x,)用，代替，就有
令 x = xn + uh ，并注意到 xn+1 − xn = xn − xn−1 = xn−1 − xn−2 = h 则得 5 ( , ( )) ( , ( ))] [9 ( , ( )) 19 ( , ( )) 24 1 ( ) ( , ( )) ( 1) ( 1) 6 1 ( , ( )) ( 1) ( 2) 2 1 ( , ( )) ( 1)( 1)( 2) 2 1 ( , ( )) ( 1)( 2) 6 1 ( ) 1 1 2 2 1 1 1 0 2 2 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 − − − − + + − − − − + + + − + = + + − − + + − + − − + + = + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x y x f x y x y x h f x y x f x y x hf x y x u u u du hf x y x u u u du hf x y x u u u du y y x hf x y x u u u du 上式中右端的 y(xi ) 用 yi 代替，就有