第五章第二节微积分基本公式不定积分换元积分法换元积分法定积分分部积分法分部积分法四、定积分的换元法五、定积分的分部积分法HIGHEDUCATION PRESS
五、定积分的分部积分法 第二节 不定积分 四、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 微积分基本公式 第五章
四、定积分的换元法定理5.4.设函数f(x)C[a,b]，函数x(t）满足：1)当在[口,](或[口，口g)(t)口b2)口（t)在[口，口](或[口，口J)上具有连续导数()a,()b:3)则f(x)dx[(t)])dtHIGH EDUCATION PRESS
四、定积分的换元法 定理5.4. 设函数 函数 满足: 3) 2) (t)在[ , ](或[ , ])上具有连续导 数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 1) 当t在[ , ](或[ , ])
f(x)dxf[(t)])dt因此积分都存在证：所证等式两边被积函数都连续且它们的原函数也存在．设F(x)是f(x)的一个原函数，则 F[(t)]是[(t)])的原函数，因此有f(x)dx F(b)F(a)F[()]F[()] f [(t)]α)d tHIGH EDUCATION PRESS
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x(0)当x=a时t=a，f (x)dx f [()j)dt当x=b时t=b说明：1）必须注意换元必换限，原函数中的变量不必代回2）换元公式也可反过来使用，即[(t)j) dtf(x)dx(令x (t))i f[(t)]) dt f[(t)] d(t)或凑微分凑微分不换限HIGH EDUCATION PRESS
1) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 2) 换元公式也可反过来使用 , 即 或凑微分 凑微分不换限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:
七例1.计算dxX当x=0时，t=1当x=1时，t=2设t=1+x2解：20dt =2ln1+或者==ln2=ln(1 + x11+x二HIGH EDUCATION PRESS
例1. 计算 或者 解： 设