高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用第2讲洛必达法则人民邮电出版社POSIS&TELECOMPRESS
高等数学（上册） 第2讲 洛必达法则 第3章 微分中值定理与导数的应用
RS人邮教育本讲内容w.nyjiaoyu.co0福01型未定式和型未定式0802其他类型的未定式0.8, 0, 8-8, 18,800
01 02 其他类型的未定式 “ ”型未定式和“ ”型未定式 0 0 本 讲 内 容 0, , 0 0 , 1 , 0
001型未定式型未定式和COAORA人邮教育08定理3.4洛必达法则1设f(x)、g(x)在xo的某去心邻域内有定义，若(1) lim f(x)=0, lim g(x)=0 ;X-→Xo(2）f(x）)、g(x)在xo的某去心邻域内可导，且gx)±0;f'(x)lim(3)存在（或无穷大），g(x)x->x0f(x)f(x)limlim则g(x)g(x)x-xo-→Xo
01 “ ”型未定式和“ ”型未定式 0 0 定理 3.4 洛必达法则� 设 f (x) 、g(x) 在 x0 的某去心邻域内有定义，若 0 lim ( ) 0 x x f x （ 1） ，x l im x0 g(x) 0； （2）f (x) 、g(x) 在x0的某去心邻域内可导，且g(x) 0； 0 ( ) lim ( ) x x f x g x （3） 存在（或无穷大）， 0 0 . ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x 则 3
0e01型未定式型未定式和COAORA人邮教育08洛必达法则ⅡI定理3.5设f(x）、g(x)在xo的某去心邻域内有定义，若(1) lim f(x)=00, lim g(x)=00;X(2）f(x）、g(x）在x的某去心邻域内可导，且g(x)±0;f'(x)lim(3)存在（或无穷大），g(x)X-→Xof(x)f(x)limlim则X-Xox>xo g'(x)g(x)
定理 3.5 洛必达法则Ⅱ 设 f (x) 、g(x) 在 x0 的某去心邻域内有定义，若 0 lim ( ) x x f x （1） ，x l im x0 g(x) ； （2）f (x) 、g(x) 在x0的某去心邻域内可导，且g(x) 0； 0 ( ) lim ( ) x x f x g x （3） 存在（或无穷大）， 0 0 . ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x g x g x 则 01 “ ”型未定式和“ ”型未定式 0 0 4
0e01型未定式型未定式和0000RA人邮教育08sinax求极限 lim例1(a,b为常数，且b±0）x-→0 sinbx0,该极限为型不定式，由洛必达法则，得o解000sinaxaacosaxlimlimbbcosbxx-0 sin bxx->0
例 1 5 0 0 解 该极限为“ ”型不定式，由洛必达法则，得 . a b 5 01 “ ”型未定式和“ ”型未定式 0 0 0 sin lim x sin ax bx 求极限 （a, b 为常数，且b 0）. 0 0 0 0 sin cos lim lim x sin x cos ax a ax bx b bx