第一章第五节函数的连续性连续的定义二、函数的间断点三、连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质HIGHEDUCATIONPRESS目录上页下页返回机动结束
二、 函数的间断点 一、 连续的定义 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 三、连续函数的性质 四、闭区间上连续函数的性质
函数连续的定义一定义：设函数 =f(x)在 x的某邻域内有定义，且lim f(x)=f(xo),则称函数 f(x)在 x连续x→xo可见，函数f(x）在点xo连续必须具备下列条件(1)f(x)在点xo 有定义，即f(xo）存在;极限 lim f(x) 存在;(2)x-xolim f(x)= f(xo).3x→XoHIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在 x0 连 续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数f(x)在点x。连续有下列等价命题lim f(x)= f(xo)→xolim f(xo + △x)= f(xo)△x-→0lim △y = 0Ax-0一f(xo )= f(xo)= f(xot)左连续右连续>0,>0,当-x=x< 时,有[f(x)-f(xo)|=Ay|<中HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0 , 0 , 当 x − x = x 0 时, 有 f ( x ) − f ( x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 证明函数 y= sin x 在(-o0,＋oo)内连续证: Vx E(-00, + 80)△y= sin(x + △x)- sin x =2sincos(x +Ay|=2sincos(x+)△x→ 0.1=[△x<2lim Ay= 0即△x-→0这说明y= sin x 在（-o0,+8o）内连续在（-80,+80）内连续同样可证：函数y=cosxHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x (− , + ) y = sin( x + x) − sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数continue在闭区间[α，b]上的连续函数的集合记作C[a,b]例如, P(x) = ao + ajx + .. a,x"（有理整函数在(-8,+8)上连续P(x)又如，有理分式函数R(x)=Q(x)在其定义域内连续HIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束