《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2阶方阵A可对角化的充要条件是A有 个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P,使P-AP=人为对角阵， 把P用其列向量表示为P=[p,P2,.,Pn] 由P1AP=A,得AP=PA, 即A[p,P2,P]=[PP2,.,P =「2P,2P2,nPn]

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 P P AP , , − 假设存在可逆阵 使 = 为对角阵 1 2 , , , . P P p p p = n   把 用其列向量表示为   . 5.3.2 n A A n 阶方阵 可对角化的充要条件是 有 个线性无关的特 定 征向量 理 二、方阵可对角化的条件 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p              =          即 1 1 2 2 , , , . n n =      p p p   , , 1 =  =  − 由P AP 得AP P

第五章相似矩阵与二次型 A[p,P2,.,pn]=[Ap1,p2,.,pn] =[2p,p2,.,2Pn] 于是有Ap,=P,(i=1,2,.,) 可见2是A的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值2的特征向量， 又由于P可逆，所以1，P2,.,pn线性无关 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量，这n 个特征向量即可构成可逆矩阵P,使PAP=人

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , n n n n A p p p Ap Ap Ap    p p p  =         =     ( 1,2, , ). 于是有 Ap p i n i i i = =  , . i i i A P p A   可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量 1 2 , , , , . 又由于P p p p 可逆 所以 n 线性无关 1 , , , . A n n P P AP − =  反之 由于 恰好有 个线性无关的特征向量 这 个特征向量即可构成可逆矩阵 使

第五章相似矩阵与二次型 注意：由上述定理可推出： 1.一个n阶方阵是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量； 2.如果n阶方阵A与对角阵相似，则对角阵主对角线 上的元素就是的特征值. 推论：一个n阶矩阵A有n个互不相同的特征值， 则矩阵A可对角化

第五章 相似矩阵与二次型 注意：由上述定理可推出： 1.一个n阶方阵是否可对角化归结为它是否有n个线 性无关的特征向量; 2.如果n阶方阵A与对角阵相似，则对角阵主对角线 上的元素就是的特征值. A A 推论：一个n阶矩阵 有n个互不相同的特征值， 则矩阵 可对角化