?Za,x"成为一收敛的常数项级数，有一确对于收敛域中的每一个x，1n=1定的和 S；在整个收敛域上，幂级数的和是关于x的函数，记作S(x)，称为幂级数的和函数a0和函数的定义域就是幂级数u，（x)的收敛域，在整个收敛域内有n=1S(x)-Ea,x".n=1E'=1+x++'+..说明例如幂级数n=(当x<1时收敛，当x≥1时发散，收敛域为(-1,1)Ex"-1+x+x' +.(-1<x<1)n=0008不不不高等数学教学部不不不
高等数学教学部 6 ( ) . 1 n n S x an x 1 , 2 0 x x x n n (1,1), ( 1 1). 1 1 1 2 0 x x x x x n n
C2、幂级数的收敛定理（1）如果级数女Ea,x"在x=xo(x ± 0)处收敛,定理 1 (Abel 定理)n=0则它在满足不等式x<x。的一切x处绝对收敛;(2）如果级数a,x"在x= x,处发散,则它在满足不等式x>x，的一n=0切x处发散证(1) 因a,x收敛，:. lima,x"=0, 存在 M>0,使|a,x<M,120n=0tnXa.J<anxx"Xo880XKZa,x"收敛，即Za,x"绝对收敛.ZM当收敛,<1时,Xoxon=0n=0n=反证法假设有一点x,适合x>x，使级数收敛，(2)2由(1)知，级数当x=x,时应收敛，这与假设矛盾，则定理结论成立00108个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 7 lim 0, 0 n n n a x n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0 , 0 n x x M
o如果幂级数a,x"的所有系数a,0,定理2(Abel 收敛定理)1=0an+1limp,n00100女Ea,x"绝对收敛;（1）若p=0，则对任一x，幂级数n=00时，幂级数Z(2）若0<p<+80，则当|x色a,x"绝对收敛;pn=0当|x>一时，幂级数a,x"发散;Pn=00O（3）若p=+，幂级数a,x"在x0时都发散Ln=08oo8不不不高等数学教学部不不个
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00a,x"应用比值判别法，证 对级数n=0n+1dn+1+=plx,limlimanx"n->00n-00aan+ixn+（1）若p=0，则对任一x，有lim= px = 0,a,xn1-008000级数a,x"收敛，级数a,x"绝对收敛；n=0n=0n+in+1(2）若0<p<+，当[x<一时,lim= px<1,anx"→80P级数a,x"收敛，级数a,x"绝对收敛；n=0n=0an+ix+!80当[x>一时，lim=px>1, 级数a,x"发散，a,x"n-→00Pn=08因而级数a,x"发散；n=0oo8个个个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 9 n n n n n a x a x 1 1 lim x a a n n n 1 lim x , n n n n n a x a x 1 1 lim x 0, n n n n n a x a x 1 1 lim x 1, n n n n n a x a x 1 1 lim x 1
an+xn+= plx = +80,(3）若p=+oo，Vx±0，limant"n-→0080lim|a,x" +0, lima,x" *0,级数a,x"发散.n00n>00ocn=0说明由以上定理知，当0<p<+oo时，幂级数a,x"在(-内ppn=01)U(,+)内发散；在点x=和x=_绝对收敛；在(一80,一处不确定一pPpP点x=-和x=二是幂级数收敛点和发散点的分界点p，称 R是幂级数的收敛半径,称(-R,R)是幂级数的收敛区间令R=p幂级数的收敛域是下列情形之一：(-R,R),I-R,R),(-R,RI,-R,RI当p=0时，幂级数处处收敛，规定收敛半径R=+8；当p=+oo时，幂级数仅在原点收敛，规定收敛半径R=0000810不不不高等数学教学部不不不
高等数学教学部 10 x 0, n n n n n a x a x 1 1 lim x , lim | | 0, n n n a x lim 0, n n n a x (R,R), [R,R), (R,R], [R,R]