第三章第五节函数的凹凸性函数作图曲线的凹凸与拐点一、曲线的渐近线二、三、函数作图HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
第五节 二、曲线的渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线的凹凸与拐点 函数的凹凸性 函数作图 第三章 三、函数作图
曲线的凹凸性与拐点一、定义.设函数 f(x)在区间I上连续,Vxi,x2 If(x)+ f(x2)X2则称f(x)的若恒有f1)22图形是凹的：f(x)+ f(x2)入则称f(x)的若恒有f((2)22图形是凸的曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 曲线上凹凸区间的分界点 称为曲线的拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 一、曲线的凹凸性与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.设函数f(x)在区间I上有二阶导数(1)在I内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的(2)在 I内,f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的确定曲线y=x的凹凸性和拐点确定曲线y=x的凹凸性和拐点确定曲线=x4的凹凸性和拐点HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
定理2. (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 确定曲线 y = x 4 的凹凸性和拐点 确定曲线 的凹凸性和拐点 确定曲线 y x = 3 的凹凸性和拐点
凹凸区间及拐点的求法（1明确函数的定义域求出二阶导数等于零的点，及二阶不可导点(2在每个子区间上判断二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性3)曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点HIGH EDUCATION PRESS
凹凸区间及拐点的求法 (1)明确函数的定义域, 求出二阶导数等于零的点，及二阶不可导点 (2)在每个子区间上判断二阶导数的符号， 判定曲线的凹凸性 (3)曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点
例.求曲线y=3x4－4x2+1的凹凸区间及拐点解: 1) y'=12x3 _12x2y" = 36x2 - 24x = 36x(x -3)2)令 y"=0(0.) (,)得X1=0,X2=3x023对应 =1,2=1(,+8)(0, 0(-8,0)X3) 判断0十02凹凹2Ly故该曲线在（-0,0)及(,+)上向上凹,在(0,)上(,2)均为拐点向上凸，点（0，1）及HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
36 ( ) 3 2 = x x − 例. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 12 12 , 3 2 y = x − x 2) 令 y = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 判断 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 + y x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 + 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2