第三章第四节函数的单调性极值和最值函数的单调性一、二、函数的极值三、函数的最值HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
第四节 一、函数的单调性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值 函数的单调性 极值和最值 第三章 三、函数的最值
函数的单调性一f(x)在开区间I内可导定理1.设函数则f(x)在I内单调递增若 f'(x)>0若 f(x)<0则f(x)在I内单调递减证:不妨设 f(x)>O，xEI,任取 xi,X2EI (xi<x2)由拉格朗日中值定理得f(x2)- f(xi)= f()(x2 -xi) > 05E(X1,X2)C I故 f(xi)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增DHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
一、 函数的单调性 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0 证: 不妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减
更一般性设函数f(x)在开区间I内可导f(x)≥0若则f(x)在I内单调递增若f'(x)≤0则f(x)在I内单调递减等号仅在有限个点处成立HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
若 更一般性 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0 等号仅在有限个点处成立 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减 设函数
f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间例.确定函数解: f(x)= 6x2 -18x+12 =6(x-1)(x -2)令 f(x)=0,得 x=1,x=21(-80,1)(1,2)2+8xO业f(x)f(x)故f(x)的单调增区间为（-0,1),(2,+)f(x)的单调减区间为(1,2)HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x = 1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：1）单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点1y=/x2例如, y= /x2 =x3,x E(-00, + 0)0=8Bx=02）如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, =x3,xE(-00,+00)1x=0 = 0y'=3x2HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束