根据连续可微的首次积分的等价判定， ●p(x)是(5)的首次积分当且仅当φ(x)是偏微分方程 ∂0，a1(x)∂ 2t am-1(x)∂p =0, ∂xnan(x)ax an(x）dxn-l i.e. a a区a 0 2++an-1am- a +an☒ax 二0， 的解 因此求偏微分方程(1)的通解等价于求（⑤）的所有首次积分. 若(x)是(5)的首次积分， ↓由定理31 存在连续可微的n一1元函数平使得 0(x)=平(01(x),,pn-1(x): 故(1)的通解是关于1(x),,n-1(x)的任意连续可微的函数. 证毕 2a0 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
ä‚ÎYåáƒg»© d½, φ(x) ¥ (5) ƒg»©Ö= φ(x) ¥†á©êß ∂ φ ∂ xn + a1(x) an(x) ∂ φ ∂ x1 +...+ an−1(x) an(x) ∂ φ ∂ xn−1 = 0, i.e. a1(x) ∂ φ ∂ x1 +...+an−1(x) ∂ φ ∂ xn−1 +an(x) ∂ φ ∂ xn = 0, ). œd¶†á©êß (1) œ) du¶ (5) §kƒg»©. e φ(x) ¥ (5) ƒg»©, ⇓ d½n 31 3ÎYåá n−1 ºÍ Ψ ¶ φ(x) = Ψ(φ1(x),...,φn−1(x)). (1) œ)¥'u φ1(x),...,φn−1(x) ?øÎYåáºÍ. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^
附注： ●定理34中通解的表达式只是局部的. ●一阶线性偏微分方程的通解由其特征方程的-1个函数独 立的首次积分与一个任意的连续可微函数来表示. 日1艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
N5µ ½n 34 •œ)Là™ê¥¤‹. ò Ç5†á©êßœ)dŸAêß n−1 áºÍ’ ·ƒg»©Üòá?øÎYåáºÍ5L´. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^
例题： 1.求下列偏微分方程的通解： ∂u,∂u ++-VR++=0 (6) 解：偏微分方程(6)的特征方程为 dx dy dz xyz-v2+y2+2 从 dx dy 得到特征方程的一个首次积分 1(化yz)= 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
~K: 1. ¶e†á©êßœ)µ x ∂u ∂ x +y ∂u ∂ y + (z− p x 2 +y 2 +z 2) ∂u ∂ z = 0. (6) )µ †á©êß (6) Aêßè dx x = dy y = dz z− p x 2 +y 2 +z 2 . l dx x = dy y , Aêßòáƒg»© φ1(x, y,z) = x y . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^