第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程 组零解的稳定性 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组零解的稳定性
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本讲教学目的与目标 ·微分方程组解的稳定性概念和判定 ·线性齐次微分方程组解的稳定性 回顾： ·平面二阶线性齐次微分方程组零解的局部结构 ·强调引导思考在不同情况下，坐标原点附近轨线的走向 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性
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为什么讨论稳定性？ 。在电子、机械、生物、物理、化学、金融甚至社会生活中的 很多实际的运动规律都是由常微分方程或方程组来描述的. ·一个给定的微分方程组可以有无穷多个解，它们依赖于不同 的初始条件.但从不同初始条件出发的解往往最终趋向于某 个特定的解，称之为稳态解. ·稳态解的存在性在实际问题中至关重要，它也是微分方程稳 定性理论的重要研究内容。 如何定义稳定性？ 口同中二#生￥2月双0 张样：上将交通大学数学系第二十九讲、稳定的：老、线性济次微分方程组零解的稳定性
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稳定性的定义 对于n阶微分方程组 dx di =f(t,x); (1) 记xo(t)是其满足初始条件x(to)=xo的解， ·称解xo(t)是稳定的，如果对Hε>0,36>0使得 当x-xol<δ时，微分方程组(1)过(to,x)的解x(t)都满 足x(t)-xo(t)训<e,t≥to.这种稳定性又称 为Lyapunov稳定. 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十九讲、稳定的概念、线性齐次微分方程组爱解的稳定性
½5½¬ Èu n á©êß| dx dt = f(t,x), (1) P x0(t) ¥Ÿ˜v–©^á x(t0) = x0 ). °) x0(t) ¥½, XJÈ ∀ε > 0, ∃δ > 0 ¶ kx−x0k < δ û, á©êß| (1) L (t0,x) ) x(t) —˜ v kx(t)−x0(t)k < ε, t ≥ t0. ˘´½5q° è Lyapunov ½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5
●称解xo(:)是渐近稳定的，如果它是稳定的，且对上述 的δ>0，如果k-o<δ有mx0-xo(0训=0. ·称解xo(t)是不稳定的，如果它不是稳定的，即30>0使得 对δ>0都存在x专满足‖x-xo<δ，及对任意大 的T答>0都存在时间>T青使得x(ts)-o(t)川>0. 口同+二#生￥2月双0 张样：上将交通大学数学系第二十九讲稳定的：老、线性济次微分方程组零解的稳定性
°) x0(t) ¥ÏC½, XJߥ½, ÖÈ˛„ δ > 0, XJ kx−x0k < δ k lim t→∞ kx(t)−x0(t)k = 0. °) x0(t) ¥ÿ½, XJßÿ¥½, = ∃ε0 > 0 ¶ È ∀δ > 0 —3 x ∗ δ ˜v kx ∗ δ −x0k < δ, 9È?øå T ∗ δ > 0 —3ûm t ∗ δ > T ∗ δ ¶ kx ∗ δ (tδ )−x0(t ∗ δ )k > ε0. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!½Vg!Ç5‡gá©êß|")½5