2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案详解

万学教育海文考研 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设0<a<b,则lm(a"+b-)2() (B) (C)b 分析:m(a"+b5)=lm =lima1+ b f(ndt (2)设函数∫(x)在区间[11上连续,则x=0是函数g(x)= (4)间断(2)可去间断点()无穷间断点(D.抵间断点 分析:1img(x)=mf( =1imf(x)=/(0)所以x=0是函数g(x)的可去间断点 (3)设f(x)是连续奇函数,g(x)是连续偶函数,区域 D=()≤x≤1-≤y≤则正确的 ()g()g(x)b=0 (B)IIf(x)g()dxdy =0 (C)J0/a+s①)d=0.(D)J()+s(可pahp=0 D 解 分析:(4)中f(y)为奇函数,g(x)为偶函数,所以fg(x)dy=0 (4)曲线方程为y=f(x)函数在区间[O,a]上有连续导数,则定积分xf(x)xtx() (4)曲边梯形ABCD面积 (B)梯形ABCD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积 第1页共11页

万学教育 海文考研 第 1 页 共 11 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 0  a b ，则 ( ) 1 0 lim n n n n a b − − → + （ ） ( A) a . (B) 1 a − . (C) b . (D) 1 b − . 解： (B) 分析； ( ) 1 1 0 0 lim lim 1 n n n n n n n n n b a b a a − − − − → → −     + = +         1 1 0 1 lim 1 n n n a a b a − →       = + =                 （2）设函数 f x( ) 在区间 [ 1,1] − 上连续，则 x = 0 是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x =  的（ ） ( A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 解 ：(B) 分析： ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim lim 0 x x x x f t dt g x f x f → → → x = = =  所以 x = 0 是函数 g x( ) 的可去间断点 （3）设 f x( ) 是连续奇函数， g x( ) 是连续偶函数，区域 D x y x x y x =   −   ( , ) 0 1,  则正确的（ ） ( A) ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy =  . (B) ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy =  . (C) [ ( ) ( )] 0 D f x g y dxdy + =  . (D) [ ( ) ( )] 0 D f y g x dxdy + =  . 解 ：( A) 分析： ( A) 中 f y( ) 为奇函数， g x( ) 为偶函数，所以 ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy =  （4）曲线方程为 y f x = ( ) 函数在区间 [0, ] a 上有连续导数，则定积分 ' 0 ( ) a xf x dx  （ ） ( A) 曲边梯形 ABCD 面积. (B) 梯形 ABCD 面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (D) 三角形 ACD 面积. 解： C

万学教育海文考研 分析:J”矿(x)=x(x)可d(a)-(x)h 其中af(a)是矩形面积,f(x)d为曲边梯形的面积 所以y(x为曲边三角形的面积。 (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则() (4)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 分析:(E-A+A+A)=E-A=E,(E+A)E-A+A)=E+A=E, 故E-A,E+A均可逆。 2 (6)设A= 则在实数域上与A合同的矩阵为() B D -12 解:选(D 分析:|ZE-4 (2-1)-4=2-2-3=(2+1)(2-3y)=0 则λ1=-1,2=3。记 则 ZE E-Dl (+1)(2-3)=0 则2=-12=3,正、负惯性指数相同,故选(D) (7)随机变量X,独立同分布且x的分布函数为F(x),则Z=max{X,}的分布函数 为( (4)F2(x) (B) F()F(y (C)1-[1-F(x) (D)[1-F(x)[1-F(y)] 第2页共11页

万学教育 海文考研 第 2 页 共 11 页 分析： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a xf x dx xdf x af a f x dx  = = −    其中 af a( ) 是矩形面积， 0 ( ) a f x dx  为曲边梯形的面积 所以 0 ( ) a xf x dx   为曲边三角形的面积。 （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0 ，则（ ） ( A) E A − 不可逆， E A + 不可逆. (B) E A − 不可逆， E A + 可逆. (C) E A − 可逆， E A + 可逆. (D) E A − 可逆， E A + 不可逆. 解： (C) 分析： 2 3 ( )( ) E A E A A E A E − + + = − = ， 2 3 ( )( ) E A E A A E A E + − + = + = ， 故 E A E A − + , 均可逆。 （6）设 1 2 2 1 A   =     ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（ ） ( A) 2 1 1 2   −     − (B) 2 1 1 2   −     − (C) 2 1 1 2       (D) 1 2 2 1   −     − 解：选 (D) 分析： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E A         − − − = = − − = − − = + − = − − 则 1 2   = − = 1, 3 。记 1 2 2 1 D   − =     − ，则 ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 4 2 3 1 3 0 2 1 E D         − − = = − − = − − = + − = − 则 1 2   = − = 1, 3，正、负惯性指数相同，故选 (D) （7）随机变量 X Y, 独立同分布且 X 的分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max ,   的分布函数 为（ ） ( A) ( ) 2 F x . (B) F x F y ( ) ( ) . (C) ( ) 2 1 1 − −   F x   . (D)     1 1 − − F x F y ( ) ( )    

万学教育海文考研 分析 F(2)=P(z≤)=P{mx{x,}s+=P(Xs)P(≤=)=F()F()=F(-) (8)随机变量X-N1),Y-N(1,4)且相关系数Pm=1,则( (4)P{=-2X-1}=1 (B)P{y=2X-1l}=1 (C)P{Y=-2X+l}=1 (D)P(Y=2X+1) 解:选( 分析:用排除法 设Y=a+b,P=1,知道x正相关,得a>0,排除(小)、(C) H- N(O, 1),Y-N(, 4), H EX=0, EY=1, E(Y)=E(aX+b)=aEX +b a×+bb=排除(B) 故选择(D) 、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 lasc (9)设函数f(x)= 在(-∞+0)内连续 解 分析:由m/(x)=mf(x)→c2+1=→c=1 x→c (10)已知函数f(x)连续且1imf(x) =2,则曲线y=f(x)上对应x=0处切线方程 解: 分析:由Im(2=2且()连续,则/(0)=0,f(0=-im(x)-(0=2,所以 切线方程为:y=2x (11)dx x In xd 第3页共11页

万学教育 海文考研 第 3 页 共 11 页 解： ( A) 分析： F Z P Z z P X Y z ( ) =  =  ( ) max ,    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 =   = = P X z P Y z F z F z F z （8）随机变量 X N(0,1) ，Y N(1,4) 且相关系数 1  XY = ，则（ ） ( A) P Y X  = − − = 2 1 1  . (B) P Y X  = − = 2 1 1  . (C) P Y X  = − + = 2 1 1  . (D) P Y X  = + = 2 1 1  . 解：选 (D) 分析：用排除法 设 Y aX b = + ，由 1  XY = ，知道 X Y, 正相关，得 a  0 ，排除 ( A) 、(C) 由 X N Y N ~ (0,1), ~ (1,4) ，得 EX EY = = 0, 1， E Y E aX b aEX b ( ) ( ) = + = + 1 0 , 1 =  + = a b b 排除 (B) 故选择 (D) 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x  +   =     在 ( , ) − + 内连续，则 c = . 解：1 分析：由 ( ) ( ) 2 2 lim lim 1 1 x c x c f x f x c c c → → + − =  + =  = （10）已知函数 f x( ) 连续且 0 ( ) lim 2 x f x → x = ，则曲线 y f x = ( ) 上对应 x = 0 处切线方程 为 . 解： y x = 2 分析：由 0 ( ) lim 2 x f x → x = 且 f x( ) 连续，则 f (0 0 ) = ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim 2 x f x f f → x −  = = ，所以 切线方程为： y x = 2 . （11） 2 1 1 0 ln y dx x xdy =   . 解： 1 2

万学教育海文考研 分析:∫xh对=减xd=小(x=1)=2 (12)微分方程(y+x2e)dx-xdh=0通解是y 分析 P O=xe (13)设3阶矩阵A的特征值互不相同,若行列式4=0,则A的秩为 分析:设A的特征值为,24,A≠2≠,则存在可逆矩阵P,使 P-lAP 4 A4=2 24=0 又码是互不相同,则,是中有且只有一个为零故rA)=nB22 (14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EN 分析:因为DX=EF2-(BX)2,所以EX2=2,X服从参数为1的泊松分布, 所以P{X=2)} 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) sinx 求极限lm-ln 解:lim-ln =lim-In 1+ x→0x 第4页共11页

万学教育 海文考研 第 4 页 共 11 页 分析： 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 ln ln y y y dx x xdy xdx x dy dx dx = =       ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x = − = − = x dx x  （12）微分方程 2 ( ) 0 x y x e dx xdy − + − = 通解是 y = . 解： x y xe Cx − = − + 分析： y x y xe x −  − = ， 1 P x = − ， x Q xe− = 1 1 dx dx x x x y e xe e dx C − −     = +      ( ) x x x e dx C xe Cx − − = + = − +  . （13）设 3 阶矩阵 A 的特征值互不相同，若行列式 A = 0 ，则 A 的秩为 . 解：2 分析：设 A 的特征值为 1 2 3    , , ，   1 2 3   ，则存在可逆矩阵 P ，使得 1 1 2 3 P AP B    −     = =       ，故 1 1 2 3 A P P    −     =       ，由 A = 0， 1 1 1 2 2 1 2 3 3 3 A P P 0          − = = =   = 又 1 2 3    , , 互不相同，则 1 2 3    , , 中有且只有一个为零，故 r A r B ( ) ( ) 2 = = （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则   2 P X EX = = . 解： 1 1 2 e − 分析：因为 2 2 DX EX EX = −( ) ，所以 2 EX = 2， X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以   1 1 2 2 P X e− = = 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 10 分） 求极限 2 0 1 sin lim ln x x → x x . 解： 2 2 0 0 1 sin 1 sin lim ln lim ln 1 1 x x x x → → x x x x   = + −    

万学教育海文考研 li (16)(本题满分10分) 设f(x)=[1(-x)d,0<x<1,求∫(x)的极值、单调区间和凹凸区间 解:f(x)=x-0)+(-=x=(x-)订(2-M f(x) 2 令f(x)=0,得x=±因为0<x<1,所以x2 得 v2 因此,f(x)的单调增区间是 1):单调减区间是(0 由/x)=2x,可知(01)为凹区间 由∫ 0f()>0知f(一) 为极小值 (17)(本题满分10分) 求函数u=x2+y2+22在在约束条件二=x2+y2和x+y+z=4下的最大和最小值 解:设F(x,y,=)=x2+y2+x2+A1(x2+y2-2)+A2(x+y+2-4) +2=0 F(x,y-)=02y+2y+k2=0 得方程组{F(x,y,)=0即{2=-1+2=0,解得{y=-2或{y=1 0 0 x+v+2 = (-2)2+(-2)2+82=72,Um=12+12+22=6 第5页共11页

万学教育 海文考研 第 5 页 共 11 页 3 2 0 0 0 sin cos 1 sin 1 lim lim lim x x x 3 6 6 x x x x → → → x x x − − = = = − = − (16) （本题满分 10 分） 设 ( ) ( ) 1 0 f x t t x dt = −  ，0 1  x ，求 f x( ) 的极值、单调区间和凹凸区间. 解： 1 1 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x f x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt = − + − = − + −     2 3 3 2 3 3 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 0 t t t t x x x x x x x x x =  − + −  = − + − − − 3 3 1 6 3 2 6 x x x = + − + 3 1 3 2 3 x x = − + . 2 1 ( ) 2 f x x  = − ,令 f x ( ) 0 = ，得 2 2 x =  .因为 0 1  x ，所以 2 2 x = . f x ( ) 0  ，得 2 1 2  x f x ( ) 0  ，得 2 0 2  x 因此， f x( ) 的单调增区间是 2 ( ,1) 2 ；单调减区间是 2 (0, ) 2 . 由 f x x ( ) 2 = ，可知 (0,1) 为凹区间. 由 2 2 ( ) 0, ( ) 0, 2 2 f f   =  知 2 2 1 ( ) 2 6 3 f = − + 为极小值. (17)（本题满分 10 分） 求函数 2 2 2 u x y z = + + 在在约束条件 2 2 z x y = + 和 x y z + + = 4 下的最大和最小值. 解：设 2 2 2 2 2 1 2 F x y z x y z x y z x y z ( , , ) ( ) ( 4) = + + + + − + + + −   得方程组 2 2 ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 0 4 0 x y z F x y z F x y z F x y z x y z x y z  =  =    =  + − =   + + − =  即 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 4 0 x x y y z x y z x y z        + + =  + + =    − + =  + − =   + + − = ，解得 2 2 8 x y z  = −   = −   = 或 1 1 2 x y z  =   =   = 得 2 2 2 max U = − + − + = ( 2) ( 2) 8 72 ， 2 2 2 min U = + + = 1 1 2 6