00 定理1(Abel定理)若暴级数∑anx” n=0 在x=x0点收敛，则对满足不等式x<xo 的一切x幂级数都绝对收敛， 阿贝尔，MH 反之，若当x=x时该幂级数发散，则对满足不等式 x>0的一切x,该幂级数也发散. 证：设∑an8收敛，则必有lim an=0,于是存在 n=0 n>∞ 常数M>0,使anx5≤M(n=1,2,.) 收敛发散 发散 收0敛 发散 x 2009年7月27日星期一 6 目录 (上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 发 散 收 敛 o 发 散 x 收敛 发散 若幂级数 ∑ ∞ n = 0 n n xa , 在 = xx 0 点收敛 则对满足不等式 0 < xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛 . 反之, 若当 0 x = x 0 > xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 ∑ ∞ = 0 0 n n n xa lim ,0 0 = ∞→ n n n 收敛 , 则必有 xa ),2,1( n 0 n nMxa =≤ " 于是存在 常数 M > 0, 使 定理 1 ( Abel定理 )
ax-og-o对 ≤M 当x<时，∑M收敛，∑a,也收敛 n=0 ns0 故原幂级数绝对收敛· 反之，若当x=xo时该幂级数发散，下面用反证法证之 假设有一点x,满足x>xo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在，点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当X=x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>x的x,原暴级数也发散.证毕 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 当 时 < xx 0 , ∑ ∞ n = 0 0 n x x M 收敛 , ∑ ∞ = ∴ n 0 n n xa 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛 , 反之, 若当 0 = xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之 . 假设有一点 1 x 01 > xx 0 x 满足不等式 0 > xx 所以若当 0 = xx 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知 , 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾 , n n n n n n x x xaxa 0 = 0 n n n x x xa 0 0 ⋅= n x x M 0 ≤ 证毕
0 由Abel定理可以看出，∑anx”的收敛域是以原点为 中心的区间. n=0 用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=0时，幂级数在(-∞，+∞)收敛； 0<R<oo,幂级数在(-R,R)收敛；在[-R,R] 外发散；在x=士R可能收敛也可能发散· R称为收敛半径，（-R,R)称为收敛区间. (-R,R)加上收敛的端，点称为收敛域。 收敛发散 发散 收0敛 发散 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 幂级数在 (－∞, + ∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, ∑ ∞ n = 0 n n xa 中心的区间. 用 ± R 表示幂级数收敛与发散的分界点 , 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时 , 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ∞ 时 , R << ∞ ,0 幂级数在 ( －R , R ) 收敛 ; ( －R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域 . R 称为收敛半径 ， 在 [ －R , R ] 外发散 ; 在 x = ± R 可能收敛也可能发散 . ( －R , R ) 称为收敛区间 . 发 散 收 敛 o 发 散 x 收敛 发散
定理2若∑anx”的系数满足lim al|=p,则 n=0 an 1)当p*0时，R=% 2)当p=0时，R=0； 3)当p=∞时，R=0. 证： lim n1 lim an+l n->oo anxh 1)若p≠0，则根据比值审敛法可知： 当px<1,即x<。时，原级数收敛； 当px>1,即x>}时，原级数发散. 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 x a a xa xa n n n n n n n n = ⋅ + ∞→ + + ∞→ 1 1 1 lim lim ∑ ∞ n = 0 n n xa 的系数满足 lim , 1 = ρ + ∞→ n n n a a ; 1 ρ R = R = ∞ ; R = .0 证 : 1) 若 ρ ≠0, 则根据比值审敛法可知 : 当 ρ x < ,1 原级数收敛 ; 当 ρ x > ,1 原级数发散 . = ρ x 即 ρ 1 x < 时 , 1) 当 ρ ≠0 时 , 2) 当 ρ ＝0 时 , 3) 当 ρ ＝∞时 , 即 时 , 则 ρ 1 x > 定理2 若