线性空间的定义及性质 冬在V中定义一个“数乘”运算 ■即当x∈V,k∈K时，有唯一的∈V(封闭 性)，且数乘运算满足下列性质： ■(5)数因子分配律 k(x+y)=kx+ky (6)分配律 (k+1)x=kx+lx ·（7)结合律 k(Ix)=(kl)x ·(8)恒等律 1x=x [数域中一定有1) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 12
线性空间的定义及性质 在 V中定义一个“数乘”运算 即当 x ∈ V, k ∈ K 时，有唯一的 kx ∈ V （封闭 性 ） ，且数乘运算满足下列性质 : （ 5）数因子分配律 k ( x y ) kx ky （ 6）分配律 （ 7 ）结合律 ( k l ) x kx lx （ 7 ）结合律 k ( l ) (kl ) （ 8）恒等律 [数域中一定有 1 ] k ( lx ) (kl ) x 1 x x [ ] lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 12
线性空间的定义及性质 Note1线性空间不能离开某一数域来定义 因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性 空间也不同。 冬Note2两种运算、八条性质 ·数域K中的运算是具体的四则运算 ·集合V中所定义的加法运算和数乘运算可以十分抽象 冬Not3除了两种运算和八条性质外，还应注意唯 一性、封闭性 ·唯一性一般较显然 。 封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● 13
线性空间的定义及性质 Note1 线性空间不能离开某一数域来定义 因为同一个集合 ，如果数域不同 ，该集合构成的线性 该集合构成的线性 空间也不同。 Note2 两种运算 、八条性质 数域 K中的运算是具体的四则运算 集合 V中所定义的加法运算和数乘运算可以十分抽象 Note3 除了两种运算和八条性质外，还应注意唯 一 性 、封闭性 唯一性一般较显然 封闭性 需要 明 还 证 明 ，出现不封闭的情况：集合小、运 算本身就不满足 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 13
线性空间的定义及性质 例1设+=全体正实数}，其“加法”及 “数乘”运算定义为x田y=y, ke,术=x 冬证明：R+是实数域R上的线性空间 [证明] ①唯一性和封闭性 。唯一性显然 ·封闭性证明 x田y=∈R*,kox=xk∈R 封闭性得证 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 14
线性空间的定义及性质 例1 设 R +={全体正实数 }，其“加法”及 “数乘”运算定义为 证明 ： R +是实数域 R上的线性空间 [证明 ] ①唯一性和封闭性 • 唯一性显然 • 封闭性证明 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 14