第一讲线性空间 线性空间的定义及性质 线性空间的基与坐标 ·基变换与坐标变换 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●
第 讲一 线性空间 线性空间的定义及性质 线性空间的基与坐标 基变换与坐标变换 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 7
线性空间的定义及性质 必集合 ·笼统说是指一些事物（或者对象）组成的整体 ■集合的表示：枚举、表达式 ·集合的运算：并（U),交（∩） Notel:不含任何元素的集合称为空集合 Note2:集合的“和”(+)并不是严格意 义上集合的运算，因为它限定了集合中元 素须有可加性 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 8
线性空间的定义及性质 集合 笼统说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示 ：枚举 、表达式 集合的运算：并（∪），交（ ∩ ） Note1：不含任何元素的集合称为空集合 Note2：集合的“和”（＋）并不是严格意 义上集合的运算 ，因为它限定了集合中元 素须有可加性 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 8
线性空间的定义及性质 必数域 ■一种数集 ·对四则运算封闭（除数不为零） ·比如有理数域、实数域(R)和复数域(C) ·实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间 ·线性代数最基本概念之一 ·学习现代矩阵论的重要基础 线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个 抽象 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
线性空间的定义及性质 数域 一种数集 对四则运算封闭 （除数不为零 ） • 比如有理数域、实数域（ R）和复数域（ C ） • 实数域和复数域是工程上较常用的两个数域 线性空间 线性代数最基本概念之一 学习现代矩阵论的重要基础 线性空间的概念是某类事物从量的方面的 个 线性空间的概念是某类事物从量的方面的 一 个 抽象 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 9
线性空间的定义及性质 线性空间的定义： "设V是一个非空集合 ·其元素用xy,z等表示，并称之为向量 ■K是一个数域 ·其元素用k,,m等表示 ■如果满足两大类(8条)性质，称V为数域K上的 线性空间或向量空间 ■数域K为实数域时，V就称为实线性空间 ·数域K为复数域时，就称为复线性空间 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 10
线性空间的定义及性质 线性空间的定义： 设 V是一个非空集合 • 其元素用 x y , , z 等表示 ，并称之为向量 K是一个数域 • 其元素用k,l,m等表示 如果 V满足两大类(8 条 ) 性质 ， 称 V为数域 K上的 线性空间 或向量空间 数域 K为实数域时， V就称为实线性空间 数域 K为复数域时 V就称为复线性空间 lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 数域 K为复数域时 ， V就称为复线性空间 10
线性空间的定义及性质 冬在V中定义一个“加法”运算： 即当x,y∈V时，有唯一的和x+y∈V(封 闭性)，且加法运算满足下列性质： ·（1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z ■(2)交换律x+y=y+x ■(3)零元律存在零元素0，使 x+0=x (4)负元律对于任一元素x∈V,存在一元素 y∈V,使x+y=O,且称y为x的负元素， 记为(x)。则有x+（-)=0 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
线性空间的定义及性质 在 V中定义 个一 个 “加法 ”运算 ： 即当 时，有唯一的和 （封 闭性），且加法运算满足下列性质 : x， y V x y V 闭性），且加法运算满足下列性质 : （ 1）结合律 （ 2 ）交换律 x ( y z ) ( x y ) z x y y x （ 2 ）交换律 （ 3）零元律 存在零元素 0，使 （ 4 ）负元律 对于任 元素 ∈ V 存在 元素 x y y x x O x （ 4 ）负元律 对于任 一元素x ∈ V，存在 一元素 y ∈ V ，使 ， 且称 y 为 x 的负元素， 记为 （ -x ） 则有 x y O 记为 （ -x ） 。则有 x ( x ) O lexu @mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 11