沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第5章 向量与线性方程组

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组求属于2=-3的单位特征向量，即求解齐次线性方程组（A+3E)x=0(4 02)(20 1)500100A+3E=-201)(000其一个基础解系(10α, =(-2单位化得K550Y3 =2V55取2V5V505500P=( 2 )=1K52V5055则(200)020P-"AP=(0 0-3)即正交变换x=Py将二次型f(x,x2,x)化为标准形f=2yr+2y2-3y例4用正交变换法将例2中的二次型f(x,xz,x）=2xx+4xx化成标准形，并写出相应的正交变换解二次型的矩阵为-11-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 11 - 求属于 3   3 的单位特征向量，即求解齐次线性方程组 A 3E x  0 4 0 2 2 0 1 3 0 5 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0                    A E 其一个基础解系 3 1 0 2          单位化得 3 5 5 0 2 5 5          取  1 2 3  2 5 5 0 5 5 1 0 0 5 2 5 0 5 5              P    则 1 2 0 0 0 2 0 0 0 3          P AP 即正交变换 x  Py 将二次型   1 2 3 f x , x , x 化为标准形 2 2 2 1 2 3 f  2y  2y  3y . 例 4 用正交变换法将例 2 中的二次型 1 2 3 1 2 1 3 f (x , x , x )  2x x  4x x 化成标准 形，并写出相应的正交变换. 解 二次型的矩阵为

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组(012)A=1000(求A的特征值[-元121-元0=3元-元3=(3-)[A-^E=[2 0 -则A的特征值为=0,=-V5,=V5求A属于=0的特征向量，即求解齐次线性方程组(A-0E)x=0(0 1 2)(100)100012A-0E=→(2 0 0)00其一个基础解系0α, =-21将α,单位化得02/5Yi =5V55V5的单位特征向量，即求解齐次线性方程组(A-V5E)x=0求属于=-1V5(V51 2)72V50A+5E=11 -72V52000其一个基础解系- 12 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 12 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 0 1 2 1 0 0 2 0 0        A 求 A 的特征值 3 2 1 2 1 0 3 (3 ) 2 0                  A E 则 A 的特征值为 1 2 3   0,   5,  5 . 求 A 属于 1   0的特征向量，即求解齐次线性方程组 A 0E x  0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0                    A E 其一个基础解系 1 0 2 1          将1 单位化得 1 0 2 5 5 5 5          求属于 2    5 的单位特征向量，即求解齐次线性方程组 A 5E x  0 5 1 0 5 1 2 2 1 5 1 5 0 0 1 2 2 0 5 0 0 0                       A E 其一个基础解系