沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义）第5章 向量与线性方程组

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组授课题目第21讲$5.2二次型的标准型与规范型掌握二次型化为标准型与规范型的方法2.掌握惯性定理1.教学目的2.会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关教学重点二次型化为标准型与规范型的方法教学难点惯性定理教学方法探究-讨论教学手段教学时数2学时板书与多媒体相结合备注教学过程对于二次型f(x，，,x）=xTAx，通过可逆线性变换x=Cy将其化成仅含有平方项的二次型，即x"Ax =(Cy)" A(Cy) = y"cT ACy = y"B)=dy+dy+.+dy,(rsn)我们称这种只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零的二次型为二次型的标准形容易看出，将二次型化为标准形，其问题的实质就是对于实对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使得CTAC为对角矩阵.这也是本节的核心问题一、化二次型为标准形的方法下面介绍两种化二次型为标准形的方法1.配方法这是一种用中学数学中的配方法就可以完成的方法.下面我们通过例子予以说明例1用配方法将二次型f(x,x2x）=x+2xz+3xz-4xx+2x-8xx化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵解F(x1,x2,xg)=x+2x2+3x3-4xx2+2xx,-8x2=(x-4xx+2x)+2x2+3x-8xx=(x -2x, +x,)2-2x2 +2x -4x2x=(-2x +x)2-2(x+2x2)+2x-6-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 6 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 授课题目 §5.2 二次型的标准型与规范型 第 21 讲 教学目的 1． 掌握二次型化为标准型与规范型的方法 2.掌握惯性定理 2． 会运用判定定理及相关结论判定向量组的线性相关 教学重点 二次型化为标准型与规范型的方法 教学难点 惯性定理 教学方法 探究-讨论 教学手段 板书与多媒体相结合 教学时数 2 学时 教 学 过 程 备注 对于二次型 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax ，通过可逆线性变换 x  Cy 将其化成仅含 有平方项的二次型，即 T T T T T x Ax  (Cy) A(Cy)  y C ACy  y By 2 2 2 1 1 2 2 ( ) r r  d y  d y  d y r  n 我们称这种只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零的二次型为二次型 的标准形. 容易看出，将二次型化为标准形，其问题的实质就是对于实对称矩阵 A ，寻找 可逆矩阵C ，使得 T C AC 为对角矩阵.这也是本节的核心问题. 一、化二次型为标准形的方法 下面介绍两种化二次型为标准形的方法. 1.配方法 这是一种用中学数学中的配方法就可以完成的方法.下面我们通过例子予以说 明. 例 1 用配方法将二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x )  x  2x 3x  4x x  2x x 8x x 化为标准形，并写出相应的线性变换矩阵. 解 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x )  x  2x 3x  4x x  2x x 8x x 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 3  (x  4x x  2x x )  2x  3x 8x x 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3  (x  2x  x )  2x  2x  4x x 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3  (x  2x  x )  2(x  2x x )  2x

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组=(x -2x + x,)2 -2(x + x,) + 4x3令y =x -2x2 +xs-2yiX即X2+xy2x2=山(ys=x3X则x =yi+2y2-3y3x3171x=y2-ys即X2J[=J3即经过线性可逆线性变换X12--3)(y)yV43二次型化成标准形f=-2+4g相应的线性变换矩阵为12-3C=0 1 -1001例2用配方法将二次型f(x,x2,x)=2xx+4x化成标准形，并写出相应的线性变换解由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换(×)(110)(y)xi =yi+y2即0X2X=yi-y2y(x)[x =Js八y3则原二次型化为f=2y+4yis-2y2+4yy此时二次型中含有平方项，再按例1的方法配方，则f =2(y1 +ys) -2y2 +4y2ys-2y3-7-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 7 - 2 2 2 1 2 3 2 3 3  (x  2x  x )  2(x  x )  4x 令 1 1 2 3 2 2 3 3 3 y x 2x x y x x y x            即 1 1 2 2 3 3 1 2 1 0 1 1 0 0 1 y x y x y x                            则 1 1 2 3 2 2 3 3 3 x y 2y 3y x y y x y            即 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                             即经过线性可逆线性变换 1 1 2 2 3 3 1 2 3 0 1 1 0 0 1 x y x y x y                             二次型化成标准形 2 2 2 1 2 3 f  y  2y  4y 相应的线性变换矩阵为 1 2 3 0 1 1 0 0 1          C 例 2 用配方法将二次型 1 2 3 1 2 1 3 f (x , x , x )  2x x  4x x 化成标准形，并写出相应 的线性变换. 解 由于二次型中不含变量的平方项，只含混合项，故先作线性变换 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y           即 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            则原二次型化为 2 2 1 1 3 2 2 3 f  2y  4y y  2y  4y y 此时二次型中含有平方项，再按例 1 的方法配方，则 2 2 2 1 3 2 2 3 3 f  2(y  y )  2y  4y y  2y

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组= 2(yi + ys)2 -2(y2 - ys)2再令z,= yi+y3即2=y2-yZyJ3[33=或则原二次型化为标准形f =22/ -222相应的线性变换为X00(5-下面将一般方法总结如下：（1）如果二次型f中含有变量x的平方项，则先把含有x的项集中，按x配方，然后按此法对其他变量逐步配方，直至将配成平方和形式：（2）如果二次型中没有平方项，只有混合项，例如有混合项x,x(i+j)，则先作可逆线性变换[x, =y,+yj(ij,ki,j)x,=y,-y,[X=使中出现平方项，再按上面方法配方一般地，任何二次型总可以经过上述类似的方法化为标准二次型2.正交变换法对于二次型f(x,xz，,x,）=x"Ax，经过可逆线性变换x=Cy将其化成标准-8-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 8 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） 2 2 1 3 2 3  2( y  y )  2( y  y ) 再令 1 1 3 2 2 3 3 3 z y y z y y z y           即 1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 z y z y z y                            或 1 1 2 2 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 y z y z y z                            则原二次型化为标准形 2 2 1 2 f  2z  2z 相应的线性变换为 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y                            1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 z z z                        1 2 3 1 1 0 1 1 2 0 0 1 z z z                下面将一般方法总结如下： （1）如果二次型 f 中含有变量 i x 的平方项，则先把含有 i x 的项集中，按 i x 配 方，然后按此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成平方和形式； （2）如果二次型 f 中没有平方项，只有混合项，例如有混合项 ( ) i j x x i  j ， 则先作可逆线性变换 ( , , ) i i j j i j k k x y y x y y i j k i j x y             使 f 中出现平方项，再按上面方法配方. 一般地，任何二次型总可以经过上述类似的方法化为标准二次型. 2.正交变换法 对于二次型 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax ，经过可逆线性变换 x  Cy 将其化成标准

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组形f=dy+dy+..+dy,(rn)时，其实质就是对于二次型的矩阵A，寻找可逆矩阵C，使得CTAC=B=diag(dj,d2",d,,0,..,)即A与对角矩阵B合同.而由$4.4定理3知，实对称矩阵必可以对角化，由此可得定理1对于二次型f(a,x2，,x)=x"Ax，必有正交变换x=Py可将f化为标准形f=My+hy+..+ay其中,，…,是f的矩阵A=（a）的特征值证明由于A是二次型f的矩阵，则A=A，由S4.4定理3知，必存在正交矩阵P，使得P-"AP=PTAP=A=diag(,2,"",a,)其中为A的特征值对二次型f(x,x2，,x）=xAx作正交变换X= Py于是f(X),X2,-, X,)= X"Ax =(Py)" A(Py)= y(PTAP)y= yTAy=M+M+.+y?证毕.简言之，实二次型总可以通过正交变换化为标准形由上面的讨论可得用正交变换法化二次型为标准形的一般步骤：（1）写出二次型的矩阵A；（2）求矩阵A的特征值,，,（3）求矩阵A的特征向量；-9-计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） - 9 - 形 2 2 2 1 1 2 2 ( ) r r f  d y  d y  d y r  n 时，其实质就是对于二次型的矩阵 A ，寻找可逆矩阵C ，使得 T 1 2 ( , , , ,0, ,0) r C AC  B  diag d d  d  即 A 与对角矩阵 B 合同.而由§4.4 定理 3 知，实对称矩阵必可以对角化，由此可得 定理 1 对于二次型 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax ，必有正交变换 x  Py 可将 f 化 为标准形 2 2 2 1 1 2 2 n n f   y   y   y 其中 1 2 , , ,    n 是 f 的矩阵 ( ) ij A  a 的特征值. 证明 由于 A 是二次型 f 的矩阵，则 T A  A ，由§4.4 定理 3 知，必存在正交 矩阵 P ，使得 1 T 1 2 ( , , , ) n diag     P AP  P AP     其中 1 2 , , ,    n 为 A 的特征值. 对二次型 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax 作正交变换 x  Py 于是 T 1 2 ( , , , ) n f x x  x  x Ax T  (Py) A(Py) T T T  y (P AP) y  y y 2 2 2 1 1 2 2 n n   y   y   y 证毕. 简言之，实二次型总可以通过正交变换化为标准形. 由上面的讨论可得用正交变换法化二次型为标准形的一般步骤： （1）写出二次型的矩阵 A ； （2）求矩阵 A 的特征值 1 2 , , ,    n ； （3）求矩阵 A 的特征向量；

线性代数（三）教案第3章向量与线性方程组（4）将特征向量正交化、单位化得12，",Y（5）构造矩阵P=（,Y2，），经x=Py，得f=xAx=y'Ay=My+Myi+..+Ay例3用正交变换法将二次型(,x2）=x+2x-2x+4x化为标准形，并写出所用的正交变换解二次型的矩阵为(102020A=20-2求A的特征值2[1-元00=(2-元)(a2+-6)A-E=02-元20-2-2=-(α-2) (a+3)则A的特征值为==2,=-3求A的属于M==2的特征向量，即求解齐次线性方程组(A-2E)x=0(-1. 0 2)(1 0 -2)0。。(000A-2E=-(2(oo。0 -4)其一个基础解系(0)(2)01α, =1α, =()(0)显然αα,正交，再单位化得2V5)050Y =Y2 =55- 10 -计算机与数学基础教学部（杨淑辉）

线性代数（三）教案 第 3 章 向量与线性方程组 - 10 - 计算机与数学基础教学部（杨淑辉） （4）将特征向量正交化、单位化得 1 2 , , ,  n    （5）构造矩阵 1 2 ( , , , ) P   n    ，经 x  Py ，得 T T 2 2 2 1 1 2 2 n n f  x Ax  y y   y   y    y 例 3 用正交变换法将二次型   2 2 2 1 2 3 1 1 3 1 3 f x , x , x  x  2x  2x  4x x 化为标准 形，并写出所用的正交变换. 解 二次型的矩阵为 1 0 2 0 2 0 2 0 2         A 求 A 的特征值    2 1 0 2 0 2 0 2 6 2 0 2                  A E      2    2   3 则 A 的特征值为 1 2 3     2,  3 . 求 A 的属于 1 2     2 的特征向量，即求解齐次线性方程组 A 2E x  0 1 0 2 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0                       A E 其一个基础解系 1 2 0 2 1 , 0 0 1                     显然 1 2  , 正交，再单位化得 1 2 2 5 0 5 1 , 0 0 5 5                        