《线性代数》第三章 向量组的线性相关性（3.3）向量组的最大无关组和秩

第三节向量组的最大无关组和秩

第三节 向量组的最大无关组和秩

行向量组a1=(a1a123…,an) i=1,2,…,m可以构成矩阵 a a a 22 2n am am2 称矩阵A是由向量组a,Q2,…,αm所构成的 矩阵,而向量组α1,Q2,…,am称为矩阵A的 行向量组

行向量组αi ＝（ai1 , ai2 , …，a in）, i = 1, 2, …，m可以构成矩阵 称矩阵A是由向量组α1，α2，…，αm所构成的 矩阵，而向量组α1，α2，…，αm称为矩阵A的 行向量组。 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 a a a a a a a a a n n m m m mn A            = =                    

列向量组 B 也可以构成矩阵 2 a n mI 2 向量组β1,β2,…,阝称为矩阵A的列向量 组

❖ 列向量组 也可以构成矩阵 向量组β1，β2，…，βn称为矩阵A的列向量 组。 1 j 2 j mj a a j 1,2, . a j  n       = =           11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 a a a a a a a a a n n n m m mn A        = =          

个m×n矩阵A有m个n维行向量,同时也有n 个 m维列向量。 由向量组线性相关的定义可知,矩阵A的列向 量组β1,阝2,…,βn线性相关的充分必要条件 是齐次方程组 β1+x2β2 βn=0 有非零解,也就是齐方程组 A,B,…,月1]:=0x=0有非0解

一个m×n矩阵A有m个n维行向量，同时也有n 个 m维列向量。 由向量组线性相关的定义可知，矩阵A的列向 量组β1，β2，…，βn线性相关的充分必要条件 是齐次方程组 x1β1 + x2β2 + … + xnβn = 0 有非零解，也就是齐次方程组   1 2 1 2 , , , 0 0 n n x x x x          = =         即A 有非0解

而一个列向量b可以用列向量组β1,阝2,…,阝n 表示的充分必要条件是线性方程组 x1B1+x22+…+XnPn=b即Ax=b 有解(不一定是唯一解)。 完全类似,矩阵A的行向量组α12,…, n线性相关的充分必要条件是齐次方程组 X1Q4+X22+∴+Xn0n=0 有非零解

而一个列向量b可以用列向量组β1，β2，…，βn 表示的充分必要条件是线性方程组 x1β1 + x2β2 + … + xnβn = b 即Ax＝b 有解（不一定是唯一解）。 完全类似，矩阵A的行向量组α1 , α2 , …， αm线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x1α1 + x2α2 + … + xmαm = 0 有非零解