《线性代数》第二章 矩阵（2.3）矩阵的秩和初等变换

第三节矩阵的秩和初等变换

第三节 矩阵的秩和初等变换

矩阵的秩( Rank of a matrix) 定义1在mxn矩阵A中,任取k行k列(k≤m,k ≤n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 式,称为矩阵A的k阶子式。 定义2如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D, 并且所有的r+1阶子式(如果有的话)全为零 则称D为矩阵A的最高阶非零子式,称r为矩阵 A的秩,记为R(A)=r,并规定零矩阵的秩等 于零

❖ 矩阵的秩(Rank of a matrix) 定义1 在mn矩阵A中，任取k行k列（k  m，k  n），位于这些行列交叉处的k 2个元素，不 改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 式，称为矩阵A的k阶子式。 定义2 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D， 并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为 矩阵 A的秩，记为R(A) = r，并规定零矩阵的秩等 于零

如果A是n阶方阵,则R(A)≤n。当R(A)=n时, 称A为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵。显然, A为满秩矩阵的充分必要条件是A的n阶子式不 等于零,即|A|≠0 令如果R(A)=r,容易证明,对k>r,A中的k阶 子式(若存在)全部等于零。(事实上,由矩 阵秩的定义知道,P1阶子式全为零;k=r+2时 将k阶子式按行(或列)展开,得到r+2个r+1 阶子式的线性组合,而这些r+1阶子式全为零 故该k阶子式为零。于是,可用数学归纳法证 明)

❖ 如果A是n阶方阵，则R(A)  n 。当R(A) = n时， 称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵。显然， A为满秩矩阵的充分必要条件是A的n阶子式不 等于零，即|A|  0 。 ❖ 如果R(A) = r，容易证明，对k > r ，A中的k阶 子式（若存在）全部等于零。（事实上，由矩 阵秩的定义知道，r+1阶子式全为零；k=r+2时， 将k阶子式按行（或列）展开，得到r+2个r+1 阶子式的线性组合，而这些r+1阶子式全为零， 故该k阶子式为零。于是，可用数学归纳法证 明）

对矩阵A,由矩阵秩的定义可得如下两个结论: (1)若A中有『阶非零子式,则R(A)≥r; (2)若A中所有阶子式全为零,则R(A)r

对矩阵A，由矩阵秩的定义可得如下两个结论： ❖ （1） 若A中有r阶非零子式，则R(A)≥r； ❖ （2） 若A中所有r阶子式全为零，则R(A)<r

例1求如下矩阵的秩 A=1-123 2-246 B 000 0200 0 2430 020 0

例1 求如下矩阵的秩 1 0 1 2 1 1 2 3 2 2 4 6 A   −   = −       − 1 0 1 2 1 0 2 1 4 0 0 0 0 3 2 00000 B   −   =     − −    